矩阵论3-1矩阵的可对角化.pptVIP

二 矩阵的相似与对角化 定义：设 ，若 与对角阵相似，则称 是 可对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵。 定理3： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 证明：设 为 的全部相异的特征值， 分 别为 代数和几何重复度， 充分性：因为 所以 有 个线性无关的特征向量，设特征向量为 其中： 为 对应的特征向量。 设： 所以： 则： 即 为单纯矩阵，充分性得证。 必要性： 设 与 相似，则 是 的特征值，不妨设： 的代数重复度为 ， 所以， 关于特征值 至少有 个线性无关的特 征向量，于是 而有定理知： ，所以 定理得证 解： 先求出 的特征值 推论1：设 ，则 为单纯矩阵的充分必要条 件是 有 个线性无关的特征向量 推论2：设 ，若 有 个互不相同的特征值， 则 为单纯矩阵 例2：判断矩阵 是否可以对角化？ 于是的特征值为 （二重） 由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑 从而不可以对角化。 三,正规阵及其对角化 正规矩阵的定义 设 , 如果 满足 那么称矩阵 为一个复(实)正规矩阵. 例3： (1) 为实正规矩阵 证明: (3) 这是一个正规矩阵. H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵. 酉相似的定义 设 ，若存在 ，使得: 则称 酉相似(或正交相似)于 定理1(Schur引理)： 任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵 即： 其中： 为上三角阵 证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然 成 立。现设 的阶数为 时定理成立， 考虑 的阶数为 时的情况。 取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位 特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 因为 构成 的一个标准正交基，故 因此 其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足 (上三角矩阵) 令 那么 注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.所以,由归纳假设结论成立 定理2 设 ,则 为正规矩阵的充分必要条件是： 其中: 是 的特征值。 证明:必要性，由引理知 的对角线为 的特征值 因为： 所以 即： 比较左右两式得出： 充分性：由 ，马上有 证明：因为 是正规阵，所以存在 使得 所以： 即： 的特征值为 推论1：正规阵是单纯阵 推论3：设 为正规阵，其特征值是 ， 则 的特征值是 推论2：正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交 推论4：设 是正规矩阵,则 是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 . 推论5： 是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部 为零 . 推论6：