渐近方法-—函数的展开.pptVIP

光学中的数学方法;第二章 渐近方法;1、 量级符号； 2、 渐近展开； 3、 渐近展开式的运算； 4、 积分的渐近展开式； 5、 最陡下降法； 6、 驻定相位法； 7、 常微分方程的渐近解； ; 由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。 ;例：;例： ;§ 2.2 渐近展开 ;二、 渐近展式 ;例1：求 当 时的积分值。;因此，取展开式的前n项，略去余项，当 时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为;三、 展开式系数： ;证明： 首先证明 是一个渐近序列。由 的定义?? ;所以 。由此，各个 都由这种方式定义得 ; 的一个渐近 幂级数展式，记为 ;§ 2.3 渐近展式的运算;3. 除法： ;4. 积分 : 当 时，若 则：;则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有;推论2： 对 ，当 时有 且 存在于相同的区域，当 时，有 则; 获得积分渐近展式的方法有两种 把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分； 重复地进行分部积分。;式 对Re(z) 0 成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令 ;两个解分别位于最大值s=1的两边其中;§ 2 渐近方法 ;§ 2 渐近方法 ;§ 23 渐近方法 ;§ 2 渐近方法 ;§ 2 渐近方法 ;§ 2 渐近方法 ;§ 2 渐近方法 ;最徒下降法的思路： ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ;§ 2.5 最陡下降法 ; 完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把C变形到???过鞍点，其方向如右图，则可以得到 ;例：求阶乘的斯特林（Stirling)公式。（即阶乘的渐近展式） ;在 时：;§ 2.6 驻定相位法 ;考察积分： ;§ 2.6 驻定相位法 ;则： ;§ 2.6 驻定相位法 ;§ 2.6 驻定相位法 ;对于复变量的情形，积分可写成： ;§ 2.6 驻定相位法 ;§ 2.6 驻定相位法 ;即： ;§2.6 驻定相位法