弹性体的形变势能;位移变分方程(林国昌).pptVIP

* 一般情况下，弹性体受力不均匀，应力分量和形变分量都是位置坐标的函数； 因此，应变能密度 也是坐标的函数，整个弹性体的形变势能 是把应变能密度 在整个弹性体内的积分，即(f)式； 带入(e)式，得(g)式。 根据(g)式，显然，形变势能是形变分量的泛函。 * 可以根据物理方程，将形变势能完全表示成形变分量的形式。 * 我们观察一下形变势能表达式(11-1): 表达式(11-1)中，红色部分项显然都是大于等于0的，因此， (1)不论形变如何，弹性体的形变势能总不会是负的，在所有的形变分量为0时，形变势能才为0。 (2)形变势能是应变(或位移)的二次函数，因此不能用叠加原理，如先发生位移 u1，再发生位移u2 ，则 。 * 根据公式(11-1)，我们可以写出在六个应力分量作用下，应变能密度仅用形变分量表示为(i)式。 显然，应变能密度是形变分量的泛函。 对六个形变分量求导，得(11-2)，(11-2)式称为格林(Green, G.)公式。 格林(Green, G.)公式表明： (1)弹性体的应变能密度对任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。 (2)应变能密度是弹性体材料本构关系的另一种表达形式。 * 通过几何方程，形变势能还可以用位移分量表示： 把几何方程(8-9)带入(11-1)中，得(11-3)，即弹性体的形变势能用位移分量表示。 * * 以一个悬臂梁为例，在集中载荷F作用下，产生弯曲。如果我们，而不考虑平衡方程和力边界条件，则挠度可能有无穷多个。 例如，w和w+δw都是可能出现的位移。 * 注意：计算虚功时，载荷与虚位移无关，即虚位移不是由载荷引起的。 * 也就表示在平衡状态，体系的总势能取极值。 极大值？极小值？ 可以考虑其二阶变分，可以证明：其二阶变分=0，因此，是极小值。也就是说， * 对于稳定的平衡，即总势能最小时的平衡状态。 * 2.虚功 假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变，也没有速度的改变，即能量守恒，则形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于外力在虚位移上所作的功，即虚功。 虚功：就是载荷在约束条件允许的虚位移上所做的功。 * 3、位移变分方程 依据能量守恒定理，形变势能的增加等于外力在虚位移上所做的虚功为： (11-6) (11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。 考察：一个弹性体在一定的外力 作用下处于平衡状态，假想发生了位移所允许的微小改变，即虚位移 能量将产生什么变化？ * 3、位移变分方程 (11-6) (11-6)式为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。 它表示：在实际平衡状态发生位移变分时，所引起的形变势能的变分=外力功的变分。 位移只满足位移边界条件 导出 位移变分方程 没有考虑以下条件： 用位移表示的平衡微分方程。 用位移表示的应力边界条件。 * 4、虚功方程 应用位移变分方程，得到有限单元法中一个重要方程---虚功方程。 依据变分原理，变分的运算与定积分运算可以交换次序。 把应变能密度看作形变分量的函数(泛函)： (11-2)格林公式 * (11-7)这就是虚功方程. 表示：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功 = 应力在相应虚应变上所做的虚功。 4、虚功方程 代入位移变分方程(11-6)，得： (11-6) (11-7) * 5、最小势能原理 由于虚位移是微小的，所以在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，只是作用点有了改变，于是位移变分方程(11-6)可改写为： 将变分与定积分交换次序，移项后得: （a） (11-6) * 5、最小势能原理 用V表示外力势能(以u=v=w=0时的自然状态下的势能为0)，它等于外力在实际位移上所做的功，并在前加以负号，即： （b） 即得： （a） 是形变势能与外力势能的总和，上式表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移使总势能的变分为0。 * 在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各位移中，实际存在一组位移应使总势能成为极值，即 5、最小势能原理 也就表示在平衡状态，体系的总势能取极值。 极大值？极小值？ 设总势能为： 表示在实际位移u处，Ep曲线的切线为水平线； 表示在实际位移u处，Ep曲线是上凹曲线，因此，Ep= min。 最小势能原理： * 5、最小势能原理 如图中的球，平衡时的总势能可取极大值或