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例题：(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法 开始发展的第一个问题. 它是贝努里（J. Bernoulli） 于1696年提出的。问题的提法是这样的： 设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有 连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短. 例题：生产设备的最大经济效益 某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。 罚函数法步骤：（不等式约束最优化问题罚函数法） 注：罚函数法更多的详细改进工作，需参阅相关书籍 在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题. 我们先来看一个投资计划的例子. 4.多目标规划 例： 投资问题 某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为1,2,…,m。而且一旦对第i个项目投资就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何确定最佳的投资方案？ 最佳投资方案：投资最少，收益最大！ 投资最少： 约束条件为： 收益最大： 5. 动态规划 动态规划模型问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值. 求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法. 一元函数的泰勒公式： 二元函数的泰勒公式: 其中记号 表示 表示 无论选择哪一种表达，怎样考虑约束条件，目标函数都不可能是线性的。 现在看来，那年的题目建模只是在条件的考虑上和建模中目标函数的表达方面较难一点。 是一个带不等式约束的非线性规划问题。 而且不可能转化成线性的形式。 非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： ⑴ 无约束非线性规划模型： ⑵ 等式约束非线性规划模型： ⑶ 不等式约束非线性规划模型： 如数据拟合的最小二乘问题就是一个无约束极值问题。 其思想是：观察点（实验数据点）到曲线的距离的平方之和最小 ⑴ 无约束非线性规划模型： 理论上无约束极值问题可化成求解 即解一个 n 元方程组，且往往是非线性方程组。 而一般说来，非线性方程组的求解并不比求无约束极值容易。 求解无约束极值问题的基本方法：迭代法 从一个给定的初始可行点 出发，依次 产生一个可行点列 的一个极小值点, 恰好是 使得某个 基本思路： 或 收敛于 , 称具有这种性质的算法 是收敛的. 由 迭代到 时, 记 即 其中向量 为有哪些信誉好的足球投注网站方向, 实数 称为步长, 确定以后, 由 可唯一地确定 从 出发就可确定点列 迭代的方法很多, 各种迭代法的区别在于选取 的方式不同, 而 尤为关键. 一般要求 递减, 具有这种性质的算法叫做下降 算法. 若已得 下降得最多, 并确定了 的可行下降方向 上选取步长 则在射线 使 且使 即求 求 的过程称为一维有哪些信誉好的足球投注网站. 1. 下降算法 于是一维有哪些信誉好的足球投注网站归结为求解一维无约束极值问题: 其算法有Newton法、平分法、黄金分割法 （0.618法）、分数法（Fibonacci法）、抛物线法（二次插值法）等， 前两种算法需计算 的导数， 后三种算法只需计算 的函数值。 下面仅介绍Newton法，对其他方法的了解可参考有关书籍。 按 给定初始可行点 和控制误差 ， 迭代格式 迭代， 当 时， 即求得 的最优解的近似解 停止计算。 Newton 法介绍 ♂一个好的算法必须以较快的速度收敛到 最优解。 设算法产生的点列 收敛于最优解 若存在 及 使 则称 为 p 阶收敛的。 该算法也是 p 阶收敛的。 称为线性收敛； 当 且 时， 称为超线性收敛； 当 时， 称为平方收敛； 当 时， 一个算法是否收敛， 往往与 的选取有关 ① 若当 充分接近 时， 由算法产生的点列 才收敛于 则称该算法为具有局部收敛 性的算法； ② 若对 则称该算法为具有全局收敛性的算法。 由算法产生 的点列 均收敛 于 Newton法是平方收敛的，具有局部收敛性；抛物线法是超线性收敛的，具有全局收敛性；平分法、黄金分割法、分数法是线性收敛的，具有全局收敛性。 常见一维有哪些信誉好的足球投注网站算法的收敛性 当 具有多个极小值点时， 则算法求得 的往往是 的一个局部极小值点。