高中数学人教版选修2-2,2-3知识点总结.docVIP

数学选修 2-2 导数及其应用知识点 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 y f f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f (x1 ) x x x2 x1 x 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数 y f ( x) 在 x x0 处的瞬时变化率是 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) ，则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处 x 0 x x 0 x 可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 y f ( x) 在 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ( x 0 ) 或 y |x x0 ， 即 f (x0 ) = lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) . x 0 x x 0 x 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 导数的背景是什么？ 答：（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c y 0 ———————— n xn 1 y xn n N * y nxn 1 x dx n 1 y a x a 0, a 1 y ax ln a a xdx a x ln a y ex y log a x a 0, a 1, x 0 y ln x sin x y cos x  y ex exdx ex y 1 ———————— x ln a y 1 1 dx ln x x x y cos x cos xdx sin x y sin x sin xdx cos x 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若 f x ， g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 f (x) g( x) f ( x) g ( x) f ( x) g(x) f ( x)g ( x) 积的导数运算 f (x) g (x) 特别地： Cf x Cf x f ( x) g (x) f ( x) g ( x) f ( x) g (x) 2 (g ( x) 0) 商的导数运算 g( x) 1 g ( x) 特别地： x g2 x g 复合函数的导数 yx yu ux 1 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性  b （其中 F x f x ） f x dx a b b b [ f1(x) f 2 ( x)]dx a f1( x)dx f2 (x)dx a a b b 为常数 kf (x)dx k ) 特别地： a a b c b (其中 ) ( ) dx ( ) dx ( ) a a c 6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数 f(x)的导数 f (x) ②令 f (x) 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③令 f (x) 0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？ 答： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数 f ( x) (3)求方程 f ( x) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？ 答：求 f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f ( x) 在 a, b 上的极值； ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？ 答：分割 近似代替 求和 取极限 （ “以直代曲 ”的思想） 10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质 1 b b a 1dx a 性质 5 若 f (x) 0, x ①推广： b [ f1 ( x) a b ②推广 : f ( x)dx a  a,b ，则 b ( ) 0 f a f2 (x) f m ( x)] dx b f1( x)dx b a f2 (x)dx a