数学建模人口预测模型.ppt

人口预测与控制 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题. 对于我国来说, 尤其为甚. 建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数学在社会发展中的重要应用领域. 我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变量, 年龄也是一个变量. 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描述, 用差分方程来实现它. 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最大年龄为 m岁,记 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1周岁)的人数, .只考虑由于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会因素的影响. 记 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即 于是 记 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生 生育率, 为育龄区间, 为第t 年 i 岁人口的女性比, 则第t 年的出生人数为 记 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人口统计和建模中一般都不能忽略), 于是 对于i=0将(2),(3)代入(1)得: 将 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低, 满足 可知 表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率 都不变,那么 又可表示为 即 是第 t 年 岁的每位妇女一生平均生育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制人口数量的主要参数. 生育模式 是 i 岁妇女生育的加权因子, 若 表示 岁妇女的生育率比 岁妇女的生育率高。制订生育政策就是确定 ,通过 控制生育的多少, 通过 可以控制生育的早晚和疏密. 将(5)式代入(4)式,并记 则(4)式写作 引入向量,矩阵记号 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并且给定了总和生育率 以后,用这个方程不难预测人口的发展方程. 在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 作为控制变量. 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为 注: 这里有两个明显的人口指数: 1)人口总数N(t) 2)平均年龄R(t) 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计资料对我国人口总数作的预测如下: 死亡率用下列公式外推: 生育模式取