2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第十二章-第3节.pptxVIP

第3节　数学归纳法及其应用;必威体育精装版考纲　1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.;1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取___________________时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当_________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.;2.数学归纳法的框图表示;[常用结论与微点提醒] 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.;1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.(　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　);解析　对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×;解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3. 答案　C;3.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(　　) A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析　观察可知等式的左边共n项，故n＝k＋1时，应得到1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1. 答案　D;解析　由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2. 答案　B;5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真. 解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1. 答案　2k＋1;规律方法　用数学归纳法证明等式应注意的两个问题 (1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值. (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.;【迁移探究1】 在例2中把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1an.;规律方法　应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.;规律方法　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.;【训练3】 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.