第3讲 数学建模的插值法.ppt

1 数学建模与数学实验 插 值 2 实验目的 实验内容 2、掌握用数学软件包求解插值问题。 1、了解插值的基本内容。 [1]一维插值 [2]二维插值 [3]实验作业 3 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 返回 4 返回 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用Matlab解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值 5 一维插值的定义 6 返回 7 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 8 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 9 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To Matlab lch(larg1) 10 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. 11 To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14 返回 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 12 比分段线性插值更光滑。 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。 三次样条插值 13 三次样条插值 g(x)为被插值函数。 14 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) 返回 To MATLAB ych(larg1) 15 用MATLAB作插值计算 一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，method) ‘nearest’ ：最邻近插值‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 16 例：在1-12的12小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。 hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作图 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius) %摄氏度 17 二维插值的定义 第一种（网格节点）： 18 已知 mn个节点 19 第二种（散乱节点）： 20 返回 21 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。 最邻近插值 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。 返回 22 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为： 分片线性插值 f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4 23 插值函数为： 第二片(上三角形区域)：(x, y)满足 插值函数为： 注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的； 分两片的函数表达式如下： 第一片(下三角形区域)： (x, y)满足 返回 24 双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下： 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值