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向 量 专 题 复 习
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解:由已知得,是方向上的单位向量,是方向上的单位向量,根据平行四边形法则知构成菱形,点P在∠BAC的角平分线上,故点P的轨迹过△ABC的内心,选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
练习:在直角坐标系xoy中,已知点A(0,1)和点B(–3, 4),若点C在∠AOB的平分线上,且,则=_________________.
略解:点C在∠AOB的平线上,则存在使==, 而,可得,∴.
题2:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解:由已知得,设BC的中点为D,则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上,故P的轨迹过△ABC的重心,选C.
题3:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解:由已知得,
由正弦定理知,∴,
设BC的中点为D,则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心,故选A .
题4:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解:由已知得,
∴
=== 0,
∴,即AP⊥BC,所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心,选B.
题5:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解:设BC的中点为D,则,
则由已知得,
∴
=== 0 .
∴DP⊥BC,P点在BC的垂直平分线上,故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .
题6:三个不共线的向量满足=+) == 0,则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解:表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量,由= 0知OA垂直∠A的外角平分线,因而OA是∠A的平分线,同理,OB和OC分别是∠B和∠C的平分线,故选C .
题7:已知A、B、C是平面上不共线的三点,O为△ABC的外心,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点
解:=
==,
由平行四边形法则知必过AB边的中点,注意到,所以P的轨迹在AB边的中线上,但不与重心重合,故选D.
题8:已知O是△ABC所在平面上的一点,若= 0, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解:若= 0, 则,以、为邻边作平行四边形OAC1B,设OC1与AB交于点D,则D为AB的中点,有,得,即C、O、D、C1四点共线,同理AE、BF亦为△ABC的中线,所以O是△ABC的重心. 选C .
题9:已知O是△ABC所在平面上的一点,若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解:由已知得,
∴,即= 0,由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C .
题10:已知O是△ABC所在平面上的一点,若,则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解:由,则,即,
得,所以. 同理可证,.
∴O是△ABC的垂心. 选D.
题11:已知O为△ABC所在平面内一点,满足=,则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解:由已知得
=
== 0
= 0,∴⊥.
同理,. 故选A .
题12:已知O是△ABC所在平面上的一点,若=
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