格林公式(公开教学用).ppt

解：设 为围绕原点的简单闭曲线 ， 围成的区域为 ， 与 C 同向， 例4 已知平面区域 D的边界取正向边界，试证 （首届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分） 右边 解:（1）利用格林公式 左边 利用二重积分的对称性定理:若积分区域关于 对称，则 欢迎各位老师批评指正！谢谢大家！ 谢谢大家 * * Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 格林公式及其应用 从不定积分与定积分的引入来考虑两者之间没有任何关系，但牛顿—莱布尼茨公式将二者联系起来。 格林公式同样是将看似截然不同的两类积分: 二重积分与曲线积分有机的统一起来。 一、格林（Green）公式 1、 预备知识： 为了学习格林公式，我们先介绍三个基本概念：单连通区域、复连通区域、平面曲线的正向。 单连通区域 D 1）单连通区域： 如果D内任一闭曲线所围成的部分全都属于D ； D内任意一条闭曲线 都可以连续地收缩为一点， 这一点也属于D； D为 无“洞”的区域。 2）复连通区域: 存在一些闭曲线它围成的区域不全属于D； 存在一些闭曲线不能连续收缩为D中的点； 有“洞”的区域（包括“点洞”）。 复连通区域 D 点洞 洞 3）平面曲线 L 的正向：当人（观察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人的一侧始终在人的左侧。 外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。 D D 洞 （1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向 ——格林公式 （3） 取正向.则有 闭曲线 围成； （2）函数 在D上具有一 阶连续偏导数； 2、格林(Green)公式(定理1) 3、说明： （2）函数 在D上必须具 （1） L必须是光滑或分段光滑的有向闭 曲线，如果不封闭怎么办？ 有一阶连续偏导数，如果在有些点 处不满足（不存在或存在不连续），怎么解决？（重点与难点） （3）L要求取正向.（若不是正向 ? ) 同学们思考一下，说明的第（2）条其实是可以修改的，应该改成什么？ （4）二重积分的被积函数必须是 例1 计算下列曲线积分: 其中L为星形线 的正向。 利用后面学过的知识发现积分与路径无关,结论显然是0. 其中L为上半圆周 沿逆时针方向从A点到 点。 5、格林公式的证明（体现分析过程） 证明(1)先考虑积分区域既是 型，又是 型区域的情况，如图 o D A B o D C E 型区域 型区域 按照 型区域考虑 同理，按照 型区域考虑 （2）当积分区域不满足既是 型，又是 型时，如下图（分割成（1）的情况） D D D L （3）当积分区域D为复连通区域时，如右图 将复连通区域沿着某一条线段割开， 将复连通区域转化为单连通区域（已证） 例2 计算 其中 L 为一条无 重点分段光滑且不经过原点的连续闭 曲线，L 的方向为逆时针方向。 二、格林公式的应用 1、计算曲线积分 1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 补充定理: 2) 在 D 内恒有 3) 为D内任意两条同向闭曲线; 4) 各自所围的区域中有相同的不 属于D的点，则 设 为围绕原点的简单闭曲线 ， 围成的区域为 , 与L同向 当 利用格林公式，结论为0. 当 时 解： 例3 设C是围绕原点的任意一条光滑简单 闭曲线，求 （第二届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分，其中的三分之一部分，前面两部分是05年高等数学一试题） Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics * *