《复变函数》第4章.ppt

复 变 函 数（第四版）第四章 级 数 §1 复数项级数 1. 复数列的极限 Th1. 证明利用不等式: 2. 级数概念 (1) 定义 Th2. 必要条件: 运算性质: (2) 绝对收敛与条件收敛. 结论: i ) ii ) iii ) iv) 例1. 解: 1) 解:2) 例2. 解:1) 解: 2) 解: 3) 因为 补例: 考察 解: 1) 解: 2) 解: 3) 补例: 判别 解: 1) 续上页 解:1) 解: 2) §2 幂级数 1. 复变函数项级数 例: 解: 2. 幂级数及其收敛圆 一般式: 取α= 0. (有与实函类似的结论)(1) (2) [证] 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散. 显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. 总之: R 为收敛半径, 则 例: 3. 收敛半径的求法 (1) 比值法: (2) 根值法: 例2: 解: 1) 在收敛圆周 | z | =1 上, 解: 2) 在收敛圆周 | z－1 | =1 上, 解: 3) {an}有界 上极限 下极限 另有一求收敛半径的方法:柯西—哈达玛法 例: 解: 补例: 证: 1) 2) 而 同理 当θ= 0 时, 即 z = 1, 无法下结论. 补例： 解: 用比值审敛法. 注: 4. 幂级数的运算及性质 (1) 加, 减, 乘法. 注意: 重要的代换 (复合运算) 例4. 解: 从而 设 | b－a | = R, (2) (3) (4) §3 泰勒级数 1. 泰勒定理. 略证: ∴ 代入, 得 唯一性, 注:1o 2o 2. 解析函数的等价定义(1) (2) 1o f (z)在zo某邻域内可导; 2o f (z) = u+iv 的实部u, 虚部v在点zo的某邻域 内有连续偏导数 , 且满足C-R条件. 3o 4o 3. 几个常用初等函数的泰勒展开式 续上页 4. 展开解析函数 f (z) 成幂级数 (1) 直接法: (2) 间接法: 续上页 例一. 解: 方法二: 续上页 例二. 解: 由于f (z)只有唯一奇点 z =1, 练习: 例三. 解: 故有 比较两端同次幂系数，得 解出 法二： §4 洛朗级数 由上一节知: ——双边幂级数: 定义: 则 1. 洛朗定理. 其中 且展开式唯一. 注: 1o 2o 3o 2. 将圆环内解析函数展成洛朗级数的方法 例： 解：直接法 解：间接法： 间接法中常用公式： 例1： 解: ∴ (结果中不含 z 的负幂项, 解: ii) ∴ 解: iii) ∴ 注: 问: 解: 例2: 补例一: 解: 在 0 | z－i | 1 内 而 ∴ 在 1 | z －i | +∞内, 因为 ∴ 补例二: 解: (对有理分式函数 f (z). 先分解为部分分式, 仍是有效的方法) 补例三: 解: 1) 在1 | z | 2 内, 有 2) 在 0 | z －2 | 内, 有 补例四: 解: 直接法: 用公式求 cn.. 求导、积分、代换等方法展开. 间接法: 利用已知函数的泰勒展式,再利用 内处处是解析的. 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 原因 f ( z )在 z = 0 处是解析的) 此例是同一个函数在不同的圆环中的洛朗展式, 这里展式不同与洛朗展式的唯一性并无矛盾. 此例若改成在两个孤立奇点 z =1 和 z = 2的最大的去心邻域内的洛朗展式如何求? 看教材(P134) 注意: ①②③④ 展为洛朗级数. 使 f (z) 解析且以 i 为中心的圆环域有 转下页 上确界{βk}单调减少,必有极限 下确界{αk}单调上升,必有极限 数列去掉前 k 项以后的有界数列的下确界. (Cauchy-Hadanmard) 1) 幂级数的收敛半径 R ≥1 2) 若 R =1, 则除 z = 1外,收敛圆周上处处收敛. 从而 原级数收敛(狄里克雷判别法). 不能套求半径公式 故 原级数收敛半径 缺项级数的收敛半径时, 则其收敛半径 若先求出极限 由绝对收敛性, 则在 | z | = R 内, 两级数可做 即 书中漏写 zn 上两式的意思是 | z | R 时,等号成立, 而不是说右边级数的收敛半径为 R (可能大于R ) . (见书