一元高次不等式和分式不等式的解法.ppt

一元高次不等式和分式不等式的解法(第二课时) 掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法． 会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题． 【课标要求】 【核心扫描】 一元二次不等式的应用．(重点) 一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛． 注意实际问题中变量有意义的范围．  1． 2． 1． 2． 3． 4． 一、一元高次不等式的解法： 只含有一个未知数，并且未知数的次数高于2次的不等式称为高次不等式。 一元高次不等式用穿针引线法求解，其步骤是： (1)将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为正数，不等式一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积． (2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出． (3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． 用数轴标根法解简单高次不等式的步骤： （1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中x的系数一定为正数 （2）标根。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。 （3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。 （4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式 小于0 的解集 二、分式不等式的解法（转化为标准形） （1）转化为整式不等式求解： （2）转化为整式不等式组求解： 三、例题讲解 解： 例1 解不等式： + － + -7 3 三、例题讲解 例2 解不等式： 解：原不等式化为： 即 由于 ∴原不等式进一步转化为同解不等式 ∴原不等式的解集为：{x|-3x1}. + － + -3 1 解： 3 1 -2 ∴原不等式的解集为： 三、例题讲解 三、例题讲解 解：原不等式化为： 即 例4 解不等式： · · · x 3 4 + － － + ∴原不等式的解集为： [思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组． 【例2】 题型二　分式不等式的解法 由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论： (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0； 不等式恒成立问题 1． 分离参数法——解不等式恒成立问题 对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.  3． 题型一　恒成立问题 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R? [思路探索] 不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决． 【例1】 (2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对?a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数． 不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小． 解　原不等式整理得 (a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立． ①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0， 即x＜－1，不恒成立． ②当a－m＋1≠0时，由题意知 【训练1】 ∵a－m＋1＞0，∴3(a－m＋1)＋1＞1＞0， ∴a－m＞0，∴a＞m. 综上，a与m的大小关系是a＞m.