《复变函数》第1章.ppt

复 变 函 数（第四版）电 子 教 案 中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 1.复数的概念 2. 复数的代数运算 (1) 加(减)法: (2) 乘法: 按多项式法则相乘 (3) 除法: 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 证 例1 解: 例2 解: §2 复数的几何意义 1. 复平面, 复数的其它表示法 复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则. 结论: 辐角: 辐角主值: Arg z的主值arg z (z ? 0)可由Arc tan 的主值arc tan 来确定: 例: (3) 三角表示法 (4) 指数表示法 例 例1 解: 1) 解: 2) 例2. 见书 P.8 … ( 自阅 ) 平面图形与复数形式方程 例3 例4 解: 1) 解: 2) 解: 3) 问: 2. 复球面 规定: 注:1.在高等数学中, ∞可以分为+∞和－∞. 而在复 变函数中只有唯一的无穷远点∞. (这样才能 与复球面一一对应) 2. 引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义. ∞可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复平面上, 直线可看成是一个圆. §3 复数的乘幂与方根 1. 乘积与商 几何意义: 特别: 例1 方法一: 方法二: 类似 补例: 证: 2. 幂与根 ╰— 棣莫弗(De Moivre)公式 —╯ z 的 n 次方根 : 特别: 补例1: 补例2: 证: 补例3: 解: §4 区域 常见曲线与区域: §5 复变函数 ※ 几何意义: 例: 补例: 解: 常用的方法有三种. 拼凑法： 2. 映射的概念 例: (2) w = z2 z 平面: §6 复变函数的极限和连续性 1. 函数的极限 (1) 定义: (3) 与实变函数极限的异同 证: 必要性. 证: 充分性. 由此知：复变函数极限的定义，形式上与一 元实函数类似，实质上却相当于二元函数的极限。（导致导数概念的苛刻） Th2. 同样有基本式: 例: 证: 另证: 2. 函数的连续性 Th3. 补例: 解: 1) 解: 2) 解: 3) 小 结 重点: ※ 一个复变函数确定了自变量为 x、y 的两个二元实变函数. 例: z = x + y i , w = f (z) = f (x + i y) = u + i v 相当于两个关系式: u = u (x, y), v = v (x, y). 令 z = x + i y , w = u + i v 涉及四个变量 x、y、u、v , 故不能用一个平面, 也不能用三维空间中的几何图形表示. 反映 z 平面上的一个点集 G (定义集合)到 w平面上一个点集 G* (函数值集合)的一个映射. x2 + y2≤1 u2 + v2≥1 代入法： 已知 将其写成关于 z = x + i y 的解析式. 设零法： 将式中项凑成 x ± iy 的组合 设式中 y = 0, 得 f (x), 代回 f (z) 最简单 G z平面 G* w平面 z－原象 w－象(映象) w = f (z) 今后不再区分函数与映射(变换). 若 G 与 G* 的映射是一一对应, 则有逆映射 z = φ(w). 即 w = f [φ(w)], z = φ[f (z)]. (1) w = ——关于实轴的一个对称映射 (将z与w重叠) 象与映象是关于实轴对称的全同图形. z = x + y i w = u + i v , u = x2－y2 , v = 2xy. arg w = 2arg z —— 辐角增大一倍. 角形域 → 角形域 → x2－y2 = c1 , 2xy = c2 (以 y = ± x 和坐标轴为渐近线的等轴双曲线) 两族平行直线: u = c1 , v = c2 . (图示见书 P24 图1.17 ) (2) 几何意义 w = f (z)在 zo的去心邻域 0 |z－zo| ρ内 有定义. ?ε 0, ?δ(ε) 0, 使 0 |z－zo| δ 时, 有 | f (z)－A | ε 则称 A 为 f (z)当 z 趋向于zo时的极限, 当变点 z 一旦进入 zo的充分小的 δ 去心邻域时, 它的象点 f (z)就落入 A 的预先给定的 ε 邻域中. (4) 极限的计算 Th1. 定义在形式上与叙述方法上十分相似, 意义却大不相同. z → zo 的任意性更强, 条件更苛刻. 其相同点是: 只是 z (或 x )进入 zo (或 xo)的 δ 邻域. 它的象