控制理论与系统胡寿松版课后习题答案.docVIP

2-5 求通过，，使下列性能泛函为极值的极值曲线： 解：由题可知，始端和终端均固定， 被积函数，，， 代入欧拉方程，可得，即 故 其通解为： 代入边界条件，，求出， 极值曲线为 2-6 已知状态的初值和终值为 ， 式中自由且1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线： 解：由题可知，，，， 欧拉方程： 横截条件：，， 易得到 故 其通解为： 根据横截条件可得： 解以上方程组得： 还有一组解(舍去，不符合题意1) 将，，代入可得. 极值轨线为 2-7 设性能泛函为 求在边界条件，自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线。 解：由题可知，，，自由 欧拉方程： 横截条件：，， 易得到 其通解为： 代入边界条件，，，求出， 将，，代入可得 极值轨线为 2－8 设泛函 端点固定，端点可沿空间曲线 移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为 证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由 可得， （1） 由 c=, , （2） 将（2）代入（1）式，得： ,得证。 2-13 设系统状态方程 ， ， 性能指标如下： 要求达到，试求 （1）时的最优控制。 （2）自由时的最优控制。 解：由题可知 构造H： 正则方程： 可求得 控制方程： 由上式可得 由状态方程，可得 （1）时 由边界条件，，，可得 得 故 有 有最优控制 （2）若自由 由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件 得 即，从而，代入可得 因为时间总为正值，所以此题无解。 3-2 设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性 能指标的极小值： 解：由题可知 构造H： 由协态方程和极值条件： 得代入状态方程得： 即，代入初始条件解得： 故， 此时 3-4 给定一阶系统方程 ， 控制约束为，试求使下列性能指标： 为极小值的最优控制及相应的最优轨线。 解：由题可知 构造H： 哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取 由协态方程 可得 由横截条件 求得 ，于是有 显然，当时，产生切换，其中为切换时间。不难求得，故最优控制为 将代入状态方程，得 解得 代入初始条件，可得 ，因而 ， 在上式中，令，可求出时的初始条件 从而求得。因而 ， 于是，最优轨线为 将求得的和代入式J，得最优性能指标 最优解曲线如下： 3-5 控制系统，试求最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。 解：哈密尔顿函数为 由协态方程：，解得， 由极值条件：， 解得，由状态方程有 ，解得 ， 代入初始值解得： ，故 此时 ………………………………………………………………………………………………….. 3－6 已知二阶系统方程 式中自由。试求使性能指标为极小的最优控制，最优轨线以及最优指标。 解：本例为线性定常系统，积分型性能指标，自由，末端固定的最优化问题。 构造哈密顿函数为： 由极小值条件应取： ,由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：，可得：， 即：，可知：，（其中矛盾）， 由协态方程有：，由初始条件解得：，由所给状态方程及初始条件解得： ……………………………………………………………………………………………………… 3-7 已知二阶系统方程 ， ， 式中控制约束为 试确定最优控制。将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标 取最小值，其中自由。 解：由题可知 构造哈密顿函数： 按照最小值原理，最优控制应取 由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得 以及 因为，可以求出 由协态方程 解得 ， 当 时(试取) 代入初始条件，，可得 代入末端条件，可得 又，联立解得 于是有 在时，正好满足要求 故最优控制为 ， 相应的最优性能指标为 最优轨线为 3-17 已知系统方程，，性能指标，末端。试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。 解：构造哈密顿函数：，由协态方程：，解得：，由极值条件：， 解得，代入状态方程有：，解得 ，代入初始值解得： ，故最优轨线为：，又，所以最优控