数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等).docVIP

考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等） 1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{ }共有2k项（2≤k且k∈N*），数列{ }的前n项的和为，满足=2， =（p－1）+2（n=1，2，3，…，2n－1），其中常数p＞1 （1）求证：数列{ }是等比数列； （2）若p=，数列{ }满足（）（n=1，2，…，2n），求数列{ }的通项公式 （3）对于（2）中的数列{ }，记，求数列{ }的前2k项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用． 【解】（1）证明：当n=1时， =2p，则， 当2≤n时，，， ∴，即， ∴， 故数列{ }是等比数列． （2）由（1），得（n=1，2，…，2n）， ∴ ， = =，（n=1，2，…，2n）， 即数列{bn}的通项公式为，（n=1，2，…，2n）． （3），设，解得n≤， 又n为正整数，于是：当n≤k时，；当n≥k+1时，， ∴数列{ }的前2k项的和： ． 2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{ }的前n项和记为，且． （1）求数列{}的通项公式； （2）设，记数列{ }的前n项和记为，，求证：. 【考点】错位相减法求和 【解】（1）当n=1时，，当n≥2时，，故， （2），其中，当n≥2时，①，②，∴①－②得，， ∴，由于，∴． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列中，，二次函数的对称轴为x=， （1）试证明是等差数列，并求的通项公式； （2）设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数的对称轴为x=， ∴≠0，，整理得， 左右两边同时乘以，得，即 (常数)， ∴是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴， ∴． （2）∵ ， ① ， ② ①-②得：， 整理得 ． ∵ ， ∴ 数列{ }是单调递增数列． ∴ 要使成立，即使，整理得n+2， ∴ n=1，2，3． 4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{ }的前n项之和为，且对n∈成立． （1）求常数k的值以及数列{}的通项公式； （2）设数列{}中的部分项，恰成等比数列，其中＝2，,＝14，求的值． 【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】（1）法一：条件化为对n∈成立． 设等差数列公差为d，则． 分别令n＝1，2，3得： 由①＋③－2?②得，．两边平方得，． 两边再平方得，．解得d＝2． 代入②得，，④ 由④－①得，．所以＝0，或＝1． 又当＝0时，d＝0不合题意．所以＝1，d＝2． 代入①得k＝1． 而当k＝1，＝1，d＝2时，，等式对n∈成立． 所以k＝1，． 法二：设等差数列的首项为，公差为d， 则，． 代入得，， 即． 因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得， 因为d≠0，所以解得，所以常数k＝1，通项公式． （2）设，则数列{}为等比数列，且． 故等比数列{}的公比q满足． 又＞0，所以q＝3．所以． 又，所以． 由此可得．所以． 所以 ． 法一：令， 则， 两式相减得:， ,代入得 ． 法二：因为 ．所以 ．代入得 . 5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知是等差数列，其前n项的和为，是等比数列，且，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 【考点】数列的求和，数列递推式. 【解】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q. 由，得=2+3d，， 由条件，，得方程组解得 所以. (2)由题意知，. 记. 则=， ， 所以， . 6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{}为等比数列，其中=1，且成等差数列． （1）求数列{}的通项公式： （2）设，求数列{}的前n项和． 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式． 【解】（1）设在等比数列{}中，公比为q， ∵，且成等差数列， ∴， ∴， 解得q=，∴． （2）∵，∴， ∴，① ，② ①－②，得： ， ∴． 7．等差数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前10项的和为________． 【答案】　75 【分析】　因为，所以的前10项和为10×3＋＝75. 8．已知函数，且，则等于________． 【答案】　100 【分析】　由题意，得 ＝ ＝ ＝ ＝. 9．数列，，，，共有十项，且其和为240，则＋的值为________． 【答案】　130 【分析】　＋＝240－(2＋＋2k＋＋20)＝240－＝240－110＝130. 10．(2015·泰州质检)已知数列满足，，则________. 【答案】　 【分析】　，，又. ∴＝2.∴，，，成等