椭圆知识点总结附练习题.docVIP

椭圆知识点总结 椭圆的定义：平面内一动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 　　注意：若，则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形. 椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 　　注意： （1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；　　(2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；　 (3) 椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， 椭圆的简单几何性质:　　椭圆：的简单几何性质 1.对称性：　　对于椭圆标准方程： 以轴、轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形2.范围：　　椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3.顶点： 　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率：　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。　　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。　注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：　　　　　　　　（1）；；；　　（2）；；；　　（3）；；； 5,通径：（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为. 6,设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形.  两种椭圆标准方程的区别和联系： 椭圆 与 的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长=，短轴长= 离心率 准线方程 焦半径 ， ， 注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，； 不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 规律方法： 1，求椭圆方程的常用方法 （1）待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；　　（2）定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。 3，方程是表示椭圆的条件　　方程可化为，即，所以只有同号，且时，方程表示椭圆。　　当时，椭圆的焦点在轴上；　　当时，椭圆的焦点在轴上。  4，焦点三角形（为椭圆上的点）有关的计算问题  令; 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。（此处信息量较大） 将有关线段，有关角 ()结合起来，建立，之间的关系. 的最大值为； 5，椭圆的扁圆程度与离心率的关系 离心率，因为，，即。 显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。 6，点与椭圆的位置关系： （1）点在椭圆外； 点在椭圆上＝1； （3）点在椭圆内 7，直线与椭圆的位置关系： 若直线与圆锥曲线相交于两点，将直线方程联立曲线方程可得： （1）相交：直线与椭圆相交； （2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离； 8，椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 9，弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点，则＝＝； 若弦所在直线方程设为，则＝。 注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点 （详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用） 10，中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率 设交点坐标为，，线段的中点为，则由 ，将两式相减 （1）斜率问题：； （2）弦中点轨迹问题时：，即； （3）要注意：； （4）直线的方程:； （5）线段的垂直平分线方程： 椭圆的几何性质练习 一，椭圆的几何性质的简单运用 1，已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标。 2，求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。 3，在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线