经典线性代数问题-无答案.docVIP

第一章 多项式 1.(P16)证明：当时，多项式整除多项式；当时，多项式整除多项式.这里是使的整数，而是实数. 2. (P16)求最低次数的多项式与，使得 （1）； （2） 3. (P16)求次数最低的多项式，使得被多项式除时余式为，被多项式除时余式为. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积： （1）； （2）； （3）. 5. (P22)证明：复系数多项式对所有的实数恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式，没有实数根，使得. 6. (P22)证明：实系数多项式对所有实数恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式和，使得. 7.(P26)设是整系数多项式，且素数满足：，而，证明：具有次数的整系数不可约因式. 8. (P26)设是整系数多项式，且素数满足：，但.证明：在上不可约. 9. (P26)设是个不同的整数.证明：多项式 在上不可约. 第二章 行列式 10.(P54)计算下列行列式： （1） （2） 11. (P54)设是上元函数.如果对任意整数，均有， 则称为对称的.数域上规范对称重线性函数称为阶积和式(Permanent)，记为.记，并记阶方阵为 则阶积和式也记为.证明： . 12. (P66)给定阶方阵.证明： ， 其中是行列式中元素的代数余子式，. 13. (P84)计算下列阶行列式： （1） ； (2)； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）； （10）计算阶行列式 ，其余未写出的元素都是零. 14.(P86)设是正整数.证明：行列式 能被整除. 15.(P86)(Burnside)设阶方阵满足，则方阵称为斜对称方阵.把看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方. 16.(P86)(Minkowski)设阶方阵的元素都是实的，并且.证明： 17.(P86)(Levy-Desplanques)设阶方阵的元素都是复数，并且，则方阵称为主角占优矩阵.证明：主角占优矩阵的行列式不为零. 18.(P87)把阶行列式 展成的多项式，并用行列式的子式表示它的关于的各次幂的系数，其中. 提示： 第三章 矩阵 19.(P104)计算下列行列式： （1），其中幂等和 （2） 20.(P106)当时，矩阵的子式称为矩阵的一个阶主子式，.设.证明：矩阵的每一个主子式都是非负实数. 21.(P106)设，其中是矩阵的前列构成的子矩阵.证明： . 22.(P113)系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵.行列式等于的整系数矩阵称为幺模矩阵.证明：整系数矩阵的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是为幺模矩阵. 23.(P113)设是阶方阵的行列式的元素的代数余子式.证明： 其中. 24.(P114)设，且.证明：. 25.(P123)设.证明：. 26.(P124)设，从矩阵中任意取出个行构成矩阵. 证明：. 27.(P124)设，从矩阵中任意取出个行，个列上的交叉元素构成的矩阵记为.证明：. 28.(P134)设和都是阶方阵，，并且.证明： . 29. (P134)设和都是阶方阵，.证明：存在正整数，使得 . 30. (P134)设.证明：的充分必要条件是，存在，使得.由此证明：如果且方阵幂等，则方阵也幂等. 31.(P134)证明：存在阶可逆的整系数矩阵，使得它的第一行为整数的充分必要条件是，整数互素. 32.(P151)证明：存在矩阵和矩阵的广义逆和，使得 . 第四章 线性空间 33.(P164)设个行向量满足 . 证明：向量线性无关. 34.(P186)设都是阶方阵，并且 . 证明： . 第五章 线性变换 35.(P205)设是线性映射，并且对任意. 证明：，其中. 36.(P219)设是数域上维线性空间到自身的线性映射，且. 证明：. 37.(P219)设是数域上维线性空间到自身的所有线性映射构成的线性空间，，且.定义线性映射如下：设，令.求与. 38.(P219)设.证明：的充分必要条件是，存在数域上阶与阶可逆方阵与使得 。 其中，且. 39.(P223)设是线性变换，且是正整数.证明：的充分必要条件是. 40.(P224)设满足.证明：方阵相似于. 41.(P224)证明：秩为的幂等方阵(即)相似于. 42.(P229)设是线性变换，，中向量生成的子空间是的不变子空间，且，证明：是的基. 43.(P239)设与为阶复方阵.则关于未知方程只有零解的充分必要