培优专题-不等式培优资料(教师版).docVIP

不等式（组）与方程（组）互化 一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于的方程的解是负数，则的取值范围是（　　） A. ；B.且；C.；D.或. 分析：先解关于的方程，用含有字母a的式子表示未知数x，然后构造不等式组求解. 解：解方程，得x=a－1. 又由关于的方程的解是负数即x0， 所以 解得，a1且. 故应选B. 例2如果方程组的解x、y满足x＋y0，则k的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k的式子表示x、y或直接表示x＋y，再根据x＋y0，构造不等式求解. 解：解方程组，得x＋y=＋1. 又由x＋y0， 所以＋10，解得，k－4. 二、不等式（组）转化为方程（组） 例3已知不等式（是常数）的解集是，求．分析：先解关于x的不等式，再根据已知的解集构造方程求解. 解：解不等式，得x. 由，所以=3. 解这个关于m的方程，得m=－1. 例4（若不等式组的解是－1x1，则（a＋b）2006= . 分析：先解关于x的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解. 解：解不等式组，得 由于这个不等式组有解，所以其解集应为a＋2x. 又－1x1， 所以 解得，a=－3，b=2. 故（a＋b）2006=（－3＋2）2006=1. 例5. 不等式的正整数解是方程的解，求的值。 解：由已知得： ，正整数解为 代入方程，得： 不等式（组）中参数如何求 一、利用性质，进行求解 例1、如果关于x的不等式(a+1)x＞a+1的解集为x＜1,则a的取值范围是 。 解析：观察不等式解集可知，不等号的方向发生了改变，由此判断原不等式的两边都除以了同一个负数，所以a+1＜0，即a＜－1，此题逆用了不等式的一条性质；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 二、借助方程，进行求解 例2、若不等式-3x+n0的解集是x2，则不等式-3x +n0的解集是_________。解析：虽然不等式与等式表面上看，应该是水火不相容，但实质上，它们有众多相似之处，所以借助方程可以帮助我们解决许多不等式问题。 比较比较不等式与一元一次方程的解法可以发现，当不等式-3x+n0的解集是x2，则方程-3x+n=0的解是x=2，故-3×2+n=0，所以n=6。 三、对照解集，进行求解 例3、若关于x的不等式组的解集是－1＜x＜ 2,则式子(a+b)2006= 解析：先化简不等式组得，因其解集是－1＜x＜2， 所以对照解集根据“大大小小取中”可知必有 EQ \F(4a+2,3) =2且2b+3=－1， 分别解得a=1,b=－2, 所以（a+b）2006=(1－2)2006=1。 例4、若关于x的不等式组 的解集为x＞6m－3,则m的取值范围是 。解析：先化简不等式组得 ，已知解集为x＞6m－3, 对照解集根据“同大取大”的方法知：6m－3大于或等于3，即6m－3≥3，解得m≥1。 四、借助数轴，进行求解 例5、若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．解析：运用数形结合的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题的方法。 解不等式组可得,对于2和之间的关系可以分以下三种情况，在数轴上表示为： 容易看出，只有情况(3)有解，所以有,解得。 例6关于x的不等式组 eq \b \lc\{ (\a \al \vs1(\f(x＋15,2)＞x－3,\f(2x＋2,3)＜x＋a))只有4个整数解，则a的取值范围是 （　 ） A. －5≤a≤－ eq \f(14,3)　　B. －5≤a＜－ eq \f(14,3)　　C. －5＜a≤－ eq \f(14,3)　　D. －5＜a＜－ eq \f(14,3) 五、利用逆向思维，进行求解 例7、若关于x的不等式组的解集中每一x值均不在一1≤x≤4的范围中，则a的取值范围是 。 解析：先化简不等式组得，由2a－3＞2a－4知原不等式组有解集为2a－4＜x＜2a－3，又由题意逆向思考可知原不等式组的解集落在x＜－1或x＞4的范围内，从而得到2a－3≤－1或2a－4≥4，所以解得a≤1或a≥4。 六、多变元问题 例8、已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足，若，则S的最大值和最小值的和是多少？ 分析：用含一个字母的代数式表示S，并确定这个字母的取值范围，就可求得S的最大值和最小值。 解：由已知得： 解得： 由得不等式组 解得： ∴2≤S≤3 所以，S的最大值与最小值的和为5 注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。