《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理).docVIP

《导数及其应用》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组. 要点二：有关函数单调性的问题 设函数在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数. 要点诠释： （1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则. （2）或恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：或. ② 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使. （或是求含参函数 的最大值 ，使） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域 ②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点. 注意：无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. 要点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式； (2) 求函数的导数，解方程； (3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释： ①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型解决数学模型 建立数学模型 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 ②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围； ③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值． = 4 \* GB3 ④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念 如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取点，作和式：．当时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即． 要点诠释： （1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），记为，而不是． (2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间[，]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同． 要点六：定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间 从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积. 要点诠释： （1）当时，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在几何上表示上述