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巨人教育绥德分校三角函数图像及性质经典例题精析类型一：周期　　1. 求下列函数的周期：　　（1）；（2）　　思路点拨：先转化为或的形式的三角函数，再求周期.　　解析：（1）， ∴周期为；　　　　　 （2）函数的周期， ∴周期为.　　总结升华：　　① 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：　　　 或，否则很容易出现错误。　　② 二者的共同点是， 　　　 如：的周期是，的周期是. 　　举一反三：　　【变式】求函数的最小正周期．　　（1）； （2）； （3）　　【答案】　　（1），∴周期为；　　（2） ，∴周期为；　　（3），∴周期为；类型二：定义域　　2．求函数的定义域。　　思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.　　解析：　 　　　　　将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，　　　　　由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，　　　　　即：　　　　　　　　　　　　　∴因此函数的定义域为：。　　总结升华：　　①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。求定义域时，若需先把式子化简，一定要注　　　意变形时x的取值范围不能发生变化。　　②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.　　举一反三：　　【变式1】求函数的定义域：　　（1）； （2）.　　【答案】　　（1）要使得函数有意义，需满足，　　　　 解得或，　　　　 ∴定义域为：.　　（2）要使得函数有意义，需满足 　　　　 解得　　　　 ∴定义域为：　　【变式2】已知的定义域为，求的定义域.　　【答案】∵中，∴中，　　　　　　 解得，　　　　　　 ∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象　　3．已知函数　　（1）用五点法作出它的图象；　　（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；　　（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？　　解析：　　（1）.　　　　 列表描点绘图如下: 0 2 x y 0 2 0 -2 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.　　　　 单调增区间为 k∈Z ，　　　　 单调减区间为k∈Z.　　（3）　　　　 　　　　 　　总结升华：　　①五点法作(, )的简图时，五点取法是设，由取0、、　　　、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；　　②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出　　　现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而　　　不是“角变化”多少；　　③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点　　　（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.　　举一反三：　　【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.　　【答案】左，；　　　　　　 ∵，　　　　　　 ∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.　　【变式2】试述如何由的图象得到的图象.　　【答案】　　方法一： 　　　　　　 .　　方法二： 　　　　　　 .　　【变式3】画出函数在区间上的图象.　　【答案】　　由知道： x 0 y －1 0 1 0 　　故函数在区间上的图象：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4. 下图是函数（，）的图象．则、的值是（　　　）　　A．， 　　　B．，　　C．， 　　　 D．，　　解析：由图象可得：　　　　　∵，由得，　　　　　由 ，得 　　　　　∴ （）　　　　　由，得．满足时，或．　　　　　由此得到，．注意到，即，　　　　　因此，这样就排除了．　　　　　∴，　　总结升华：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．　　举一反三：　　【变式1】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】C；把点代入选项即得。　　【变式2】写出下列函数图象的解析式　　（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象