文献综述---宋慧丽(已修改).docVIP

文 献 综 述 2011届 行列式的一些计算方法 学生姓名 宋慧丽 学 号 院 系 数理信息学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 吴培炯 完成日期 2010年12月31日 行列式的一些计算方法的文献综述 行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。目前我们常用的计算行列式的方法有三角化法,拆项法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法。同时，我还总结了几种尚未被大家广为使用的方法。 目前常用的几种方法 三角化法 即把行列式转换成上三角行列式（主对角线下方的元素全为零的行列式）或下三角行列式（主对角线上方的元素全为零的行列式）。 拆项法 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。 降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开) ①递推降阶法：递推法可分为直接递推和间接递推。用直接递推法计算行列式的关键是找出一个关于的代数式来表示，依次从逐级递推便可以求出的值；间接递推的做法是，变换原行列式以构造出关于和的方程组，消去就可以解得。 ②依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。 升阶法 在计算行列式时. 我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再利用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。升阶时，新行(列)由哪些元素组成? 添加在哪个位置? 这要根据原行列式的特点作出适当的选择。 待定系数法 此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想:若行列式中含有未定元，则行列式一定是关于的一个多项式，且当取某些值，如能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论，则行列式一定可以被这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值。 数学归纳法 即利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想值的严格证明。这里采用第二型数学归纳法较多。 几种尚未被广泛使用的方法 析因子法 如果行列式中有一些元素是变数（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式当作一个多项式，然后对行列式施行某些变换，求出的互素的一次因式，使与这些因式的乘积只相差一个常数因子，根据多项式相等的定义，比较与的某一项的系数，求出的值，便可求得。 超范德蒙行列式法 超范德蒙行列式法就是考虑阶范德蒙行列式，利用行列式与某元素余子式的关系计算行列式的方法。该方法适用于具有范德蒙行列式的题型。 微积分法 若行列式含有未知量，可将行列式看成关于这个未知量的多项式，若易于求出某个初始值，再对进行求导运算，求出，最后根据微积分知识求出在初始值处的解析表达式。 记，则。同上可得。从而 ， 接下来解决的问题是已知，，求的表达式。 由知 而，得 依次类推可计算出 软件法 对于阶数已知的行列式的计算或一些稍复杂的行列式的计算，我们还可借助于一些数学软件来进行求解。 一是借助于EXCEL进行行列式计算：如计算行列式的值，可按下列步骤进行求解： 第一步：打开一个EXCEL文档，选择相邻的两行两列的四个空单元格，在其中分别依次输入行列式的四个元素-1，-2，2，3; 第二步：选定存放结果的单元格，点击“插入”菜单中的“函数”，打开粘贴函数的窗口，在窗口中选择“数学与三角函数”中的MDETERM函数，单击确定； 第三步：在编辑栏内函数的括号内输入要计算的单元格，按下Enter键即可得到所求行列式的值。 二是使用数学软件Matlab进行行列式的计算，如可按下列步骤计算行列式的值。 第一步：打开Matlab，在其命令窗口输入以下命令： 第二步：按下Enter键即可得到行列式的值。 研究的方向 对于行列式的计算，往往由于方法的不同，难易繁简差别程度甚大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义。因此，我将着力于研究各种方法的使用领域，各种类型的题目最适合于何种方法。就目前而言，大家用的最多的还是一些比较常规的方法，但是往往