奇妙的“1”——用一元一次方程解决问题.docx

奇 妙 的 “1” ——单位“1”与一元一次方程解决问题 江苏省连云港市新海实验教育集团苍梧校区 熊诚燕 一、教学目标 (1) 引导学生经历“温故知新”——“化新为旧”—— “新题回看”——“迁移应用”——“总结反思”五个由浅入深的活动，逐步引导学生体会到：在许多问题中，如果“总量”不知道，可以把“总量”总量设为单位“1”，进而寻找相等关系列出方程． (2) 教师引导学生在“做数学”中“悟数学”，学会将没学过的问题转换为已经学过的问题，体悟“类比”和“转化”的数学思想． 二、教学重点 引导学生体会到：在许多问题中，如果总量不知道，可以把总量设为单位“1”，进而寻找相等关系列出方程，学生体悟到设单位“1”的简单性和灵活性． 三、教学难点 经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟“类比”和“转化”的数学思想． 四、教学过程 引子：奇奇过生日，蛋糕上插着两种长度相同但粗细不同的蜡烛，已知粗蜡烛可燃5分钟，细蜡烛可燃2分钟，同时点燃两根蜡烛，唱完生日歌后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，奇奇想知道蜡烛燃烧的时间是多少? 活动一：温故知新——课本习题如何解决？ 〖师〗你在哪里见过蜡烛燃烧的问题吗？课本上是否有类似的问题？ 课本习题：两根一样高的蜡烛，第一根蜡烛每小时缩短8cm，第二根蜡烛每小时缩短6cm．同时点燃2h后，第二根蜡烛的高度是第一根蜡烛的1.5倍，求这两根蜡烛原来的高度． 〖师〗你能独立解决这个问题吗？假如你觉得这个问题关系复杂，一下找不到相等关系， 我们一起借助表格帮我们梳理关系，分析问题． 首先知道蜡烛原长是一样的，都设为xcm；其次“第一根蜡烛每小时缩短8cm，第二根蜡烛每小时缩短6cm”指的燃烧的速度，分别是8 cm/h和6 cm/h；“同时点燃2h”指的是燃烧时间都是2h，最后“第二根蜡烛的高度是第一根蜡烛的1.5倍”指的是蜡烛燃烧后的长度之间的关系，我们表示一下燃烧后两根蜡烛的长度，第1根蜡烛燃烧后的长度是（x－2×8）cm，第2根蜡烛燃烧后的长度是（x－2×6）cm． 最后根据第二根蜡烛的高度是第一根蜡烛的1.5倍这个相等关系，自然列出方程： 1.5（x－2×8）=x－2×6． ★PPT：同步显示 蜡烛原长/cm 速度/(cm/h) 时间/h 蜡烛燃烧后的长/cm 第1根 x 8 2 x－2×8 第2根 x 6 2 x－2×6 活动二：化新为旧——你能模仿课本习题的方法解决新问题吗？ 〖师〗课本习题的解决对你有什么启发吗？新问题和课本习题有什么共同点，有什么不同点？ 首先，蜡烛的原长都是一样的，其次相等关系也是类似的；课本习题直接告诉了蜡烛燃烧的速度和时间，求蜡烛的原长，但新问题即不知道蜡烛的原长，也不知道蜡烛燃烧的时间和速度，什么都不知道，怎么办？ 老师告诉你：仿照着课本习题的解决过程，我们也能将新问题解决，你相信吗？试试看！ 新问题：奇奇过生日，蛋糕上插着两种长度相同但粗细不同的蜡烛，已知粗蜡烛可燃5分钟，细蜡烛可燃2分钟，同时点燃两根蜡烛，唱完生日歌后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，奇奇想知道蜡烛燃烧的时间是多少? 〖师〗这道题要求的是停电时间，把停电时间设为x h．因为蜡烛的原长也不知道，可以设为a cm．在同一道题中，两个不同未知量要用两个不同的字母表示！那么此时两根蜡烛燃烧的速度你能表示出来吗？蜡烛的原长都是a cm，粗蜡烛可燃5小时，即粗蜡烛燃烧的速度是 cm/h；同样，细蜡烛燃烧的速度是cm/h．燃烧后粗蜡烛的长度是（a－x·）cm，细蜡烛的长度是（a－x·）cm． 根据相等关系粗蜡烛燃烧后的高度是细蜡烛燃烧后高度的2倍，也很顺路可得方程：a－=2(a－)． 〖师〗新的问题来了，你会解这个方程吗?这个方程有两个未知数，我们现在只会解一元一次方程，怎么办?那我们能不能想办法将上面的方程变形为一元一次方程？ 我们是不是可以在方程的左右两边同时除以a．此时要注意的是：在这个问题中a表示蜡烛的原长，a≠ 0．依据是等式性质2，等式左右两边可以同时乘以或者除以一个不等于0的数，等式依然成立．方程变为1－=2(1－)，这就是一元一次方程，会解了． （3）新题回看——新方程让你想到以前的哪种问题？ 〖师〗回头看刚才新问题的解决过程，蜡烛的原长和燃烧时间都不知道，我们设了两个未知数，列出一个二元方程，再约去一个未知数，将二元方程转化为一元一次方程，问题就顺利解决了．你要问，这就是巧妙地方法吗？有没有更简单一点的方法？ 我们看变形后的一元一次方程1－x·=2(1－x·)，我们相当于把蜡烛的原长看成了多少？ 单位“1”，对吗?这样可以吗？我们以前哪种问题中有过设单位