现代精算风险理论 第1章 效用理论与保险.pdf

§第1章 效用理论与保险 1.1引言  例：我们有这样的二种选择：  A ：0.1%的机会得到10000元钱，99.9% 的机会什么也得不到。  B：100%的机会得到10元。  选择A ？或B？ 喜好风险  例：我们有这样的二种选择：  A ：0.1%的失去得到10000元钱，99.9% 的机会不损失。  B：100%的机会夫去10元。  选择A ？或B？ 厌恶风险  例：我们有这样的二种选择：  A ：0.1%的失去得到10000元钱，99.9% 的机会不损失。  B：100%的机会夫去20元。  选择A ？或B？ 1.2 期望效用模型 假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？ • 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。 因为这么大的损失一但发生可以导致破产。 结论：可以付出比期望值高的费用为风险 投保。 例 1.2.1(圣彼得堡悖论) 以价格 P 元参与如 下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为 止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者 就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益 n  1 n   是2   ．然而，除非 P很小，否则很少有人会 2 n 1   参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望 收益． 在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和 摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型描 述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择． 一个评估财富 w 的效用函数u  ，  决策基于期望E u w X     如果有二个损失 X，Y，比较 E u w X 与    E [u(w Y)] 的大小来决定 为比较X 和Y ，效用函数与其线性变换是等价 的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。 当且仅当 u(x ) 与 au (x ) b 是等价的。 效用函数的确定  效用函数是存在的。但很难给出一个明 确的解析式。  可以向决策都提出大量的问题，通过他 对这些问题的回答来决定该决策都的效 用函数。  如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费这P？” 例 1.2.2 （偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资 本 w 的个体使用效用函数u  衡量其财富的价值．他面 临两种选择： A ． 以概率 1/2 损失 b 元， B ． 仅支付固定的 b/2 元． 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A ； 当 b =4 时，他选择 B ； 当 b =2 时，两种选择等价． 这个人喜欢一定程度的冒险，但他又害怕大的损失。  （这样的人会购买火灾保单，同时愿意参与抽奖的活动．） 对于这样的决策，效用函数 u  应该具有怎样的形式？  u 0 0 u 1 1 选择 w=0 ．假设   和  