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第一章 矩阵理论 (Matrix Theory) 第一节 线性变换及其矩阵表示 第一节 线性变换及其矩阵表示 一、线性空间与线性变换 一、线性空间与线性变换 1、线性空间及其基组 1、线性空间及其基组 空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X 。其 空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X 。其 中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距 中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距 离。集合X ＝{x|x满足的条件}。 离。集合X ＝{x|x满足的条件}。 封闭：X 中任元素经某运算后的结果仍属于X ，则称 封闭：X 中任元素经某运算后的结果仍属于X ，则称 X对该运算封闭。（如：实数集R ，任x 、 X对该运算封闭。（如：实数集R ，任x 、 1 1 x ∈R ，x +x ∈R ，称R对加法封闭。实际上R x ∈R ，x +x ∈R ，称R对加法封闭。实际上R 2 1 2 2 1 2 对乘法也封闭。） 对乘法也封闭。） 不封闭的例子如图： 不封闭的例子如图： 线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数 域C ），若定义X 中二元素之间的加法运算以及数域K 中 域C ），若定义X 中二元素之间的加法运算以及数域K 中 的数与X 中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： 的数与X 中元素之间的数乘运算，并满足下列条件：  加法运算“+”满足：对任意x 、y ∈X ，x+y ∈X ，且  加法运算“+”满足：对任意x 、y ∈X ，x+y ∈X ，且 (1)交换律：x+y=y+x ； (1)交换律：x+y=y+x ； (2)结合律：对任意z ∈X ，(x+y)+z=x+(y+z) ； (2)结合律：对任意z ∈X ，(x+y)+z=x+(y+z) ； (3)有零元：存在0 ∈X ，使得对一切x ∈X ，有x+0=x （0称 (3)有零元：存在0 ∈X ，使得对一切x ∈X ，有x+0=x （0称 X 的零元素）； X 的零元素）； (4)有负元：对任意 x ∈X ，存在y ∈X ，使x+y=0 （y称为x (4)有负元：对任意 x ∈X ，存在y ∈X ，使x+y=0 （y称为x 的负元素）。 的负元素）。  数乘运算“ ”满足：对任意 α∈K，x ∈X ，  数乘运算“ ”满足：对任意 α∈K，x ∈X ， αx ∈X ，且 αx ∈X ，且 (1)对任意的 β∈K，α(βx)= ( αβ)x； (1)对任意的 β∈K，α(βx)= ( αβ)x； (2)1 x=x； (2)1 x=x； (3)对任意的y ∈X ，α(x+y)= αx+ αy； (3)对任意的y ∈X ，α(x+y)= αx+ αy； (4)对任意