第02章---随机变量及其分布.ppt

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量 第二节 离散型随机的概率分布 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其分布 第五节 一维随机变量函数的分布 习题 第一节随机变量 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示.在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结果本身, 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣.将随机试验的结果与实数对应起来, 即将随机试验的结果数量化, 引入随机变量的概念. 例1 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现H的总次数, 而对H,T出现的顺序不关心. 比如说, 我们仅关心出现H的总次数为2, 而不在乎出现的是HHT,HTH还是THH. 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 即有 例2 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球. 在袋中任取一只球, 放回. 再取一只球, 记录它们的编号. 计算两只球的号码之和. 试验的样本空间S={e}={i, j},i, j=1,2,3. 这里i, j分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如图所示. 定义 设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量. 如果随机试验的结果本身是一个数, 即样本点e本身是一个数. 我们令X=X(e)=e, 则X就是一个随机变量. 例：用Y记某车间一天的缺勤人数, 以Z记某工厂一天的耗电量. 那么Y, Z 都是随机变量.后面，我们以大写字母如X,Y,Z,W,...表示随机变量, 而以小写字母x,y,z,w,...表示实数. 随机变量的特点 随机变量随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值. 由于试验结果的出现具有一定的概率，于是随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 例：将一枚硬币抛掷3次,以X记三次抛掷中出现H的总数，则X 为随机变量。X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{X?L}. 它表示事件B={e|X(e)?L}, 即B是由S中使得X(e)?L的所有样本点e所组成的事件. 此时有 P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L} 第二节离散型随机变量的概率分布 设X所有可能取的值为xk(k=1,2,...), 称 P{X=xk}=pk, k=1,2,.... (2.1)为离散型随机变量X的分布律。由概率的定义, pk满足如下两个条件 三个重要的离散型随机变量(一) (0-1)分布 设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1 (0p1),则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布.(0-1)分布的分布律也可写成 对一个随机试验中的任何一个给定的事件A, 0P(A)1, 都可以根据事件A定义一个服从0-1分布的随机变量： 例： 对新生婴儿的性别进行登记, 男性记为“1”、女性记为“0”； 检查产品的质量是否合格,合格记为“1”、不合格记为“0”； 某车间的电力消耗是否超过负荷，超过记为“1”、不超过记为“0”； 例 某人进行射击, 设每次射击命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. P{X?2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972. 第三节随机变量的分布函数 为什么要引入分布函数？ 非离散型随机变量的可能取值不能一个一个地列举出来，无法使用分布律来描述 通常非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于0 对非离散型随机变量，我们关心的是随机变量所取的值落在一个区间的概率：P{x1X?x2}. 第四节连续型随机变量及其分布 f (x)的图形 如X 服从指数分布, 则任给s,t 0, 有 P{Xs+t | X s}=P{X t} (★)事实上 性质(★)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. 第五节一维随机变量函数的分布 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 我们所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 例如：我们能测量圆轴的直径d, 而关心的却是截面积A=