同济大学等九校卓越联盟自主招生数学试题及答案.docVIP

2013年九校(卓越联盟)自主招生 数学试题 分值: 分 时量: 分钟 一、选择题, 1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知则( ) A. B. C . D. 3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ) A.. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( ) OABCDEFGP O A B C D E F G P l 第8题图 9.数列共有11项,且 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B. C. D. 二、解答题 11.设数列满足. (1)设,证明:若,则是等比数列; (2)若求的值; 12.在中,是角的平分线,且. (1)求的取值范围; (2)若,问为何值时,最短? 13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切. (1)求椭圆的方程; (2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值. 14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为. (1)求; (2)设,求 (3)证明: 15.设. (1)求; (2)设求常数,使得取得最小值; (3)记(2)中的最小值为,证明. 参考答案: 一.选择题 二.解答题 11.【解】(1)证:由,得 令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列; (2)由(1) 可知, 所以由累加法得即 也所以有时,也适合该式; 所以 也所以 由于所以解得. ABCDE12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右. A B C D E 所以, 也所以有,即 在中,有 即 所以,即 所以. (2)因为 在中,有 记,则 当时, 此时取最小值,此时. 故当时,取最小值. 13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点, 所以方程组只有一解,整理得. 所以得. 又因为焦点为,所以联立上式解得 所以椭圆方程为. (2)若斜率不存在(或为0)时,则. 若斜率存在时,设为,则为. 所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为 联立方程化简得. 则 所以 同理可得 所以 因为（当且仅当时取等号） 所以,也所以 所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2. 14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故. (2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种; 第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为 第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为. 故 (3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故 15.(1); (2)若则显然,当取最小; 若则当取最小. 故 由(1)知 所以, 记 则令,得 即时,取最小值. (3)将代入式右边, 等价于 由于时,所以下面只须证明即可. 又令, 则,注意到函数是单调递增的,且 所以.得证.