第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理.ppt

As a result of this class, you will be able to ... * * As a result of this class, you will be able to ... 图1 1/5 ? ? ? ? ? ? 4 5 6 7 8 则有： 现从总体(N=5)中，作样本容量n=2的简单随机抽样，它可能选出的样本有5?5=25种，结果如表2 经过整理，得出样本平均家庭人口数的抽样分布如下(表3) 平均家庭人口数的概率分布图2 样本均值的平均值仍等于总体平均值6 可见，样本均值的平均数=? 样本均值的方差 (所有可能出现样本均值的方差) 比较及结论： 1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n 中心极限定理(central limit theorem) 当样本容量足够大时(n ? 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 从均值为?，方差为? 2的一个任意总体中抽取样本容量为n的随机样本，当n充分大（通常要求n=30）时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布 一个任意分布的总体 x 中心极限定理 (central limit theorem) ?x 的分布趋于正态分布的过程 抽样分布与总体分布的关系 总体分布 正态分布 非正态分布 大样本 小样本 样本均值 正态分布 样本均值 正态分布 样本均值 非正态分布 ? = 50 ? =10 X 总体分布 n = 4 抽样分布 X n =16 当总体服从正态分布N ~ (μ,σ2 )时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值?X也服从正态分布，?X 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即?X～N(μ,σ2/n) T 统计量的分布 ?设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N~(μ,σ2 )的一个样本，那么 为统计量,它服从自由度为(n-1)的t 分布 X t 分布与正态分布的比较 t-分布 正态 分布 t 不同自由度的t分布 标准正态分布 t (df = 13) t (df = 5) Z 统计量的标准误 (standard error) 样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差 标准误衡量的是统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的一个重要尺度。 以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为 它反映的是统计量 围绕 的分散程度或者说反映了抽样均值 与 的平均误差水平。 4. 标准误表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无数多种样本，每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样本对总体数据的估计，标准误代表的就是样本均数与总体均数的相对误差。标准误更大的是受到样本容量的影响。样本容量越大，标准误越小，那么抽样误差就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表总体。 估计的标准误 (standard error of estimation) 当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误差，由于在实际应用中，总体的?总是未知的，所计算的标准误差实际上都是估计标准误差，因此估计标准误差就简称为标准误差。 以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差?未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为 例1，随机抽取某大学的学生100名，平均体重 根据过去材料知道大学生体重的标准差为10kg，求抽样误差为多少？ 解：已知n=100?30 ?=10 。 例2，某学院1000名学生，其平均身高是168cm，标准差为22.5cm，现从学生中随机抽100名，求其样本平均数大于1.70m的概率 解?=168cm ?=22.5 ,n=100 ?X=170cm p(x170)= = 答：样本平均数大于1.70m 的概率为18.41% 思考题和练习题 一、思考题 1.正态分布有哪些特点？什么是标准正态分布？ 2.解释中心极限定理的含义？ 3.解释样本统计量的概率分布（抽样分布） 4.什么是统计量的标准误差？它有什么用途？ 二、练习题 1.已知随机变量ξ满足正态分布ξ~N ，求P(ξ61)=?和P 2.已知Z满足标准正态分布N(0,1)，求以下各a值情况下，P