函数的周期性与对称性.docx

PAGE PAGE 1 函数专题 函数的周期性与对称性 函数的周期定义 有关周期函数的常用结论 设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立 ? ? ? = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥ 则是周期函数，2是它的一个周期。 但 的周期为4 若同时关于对称（），则是周期函数，是它的 一个周期期。 若关于对称，同时关于点对称，则的一个周期是 若关于对称同时关于对称，则是周期函数，周期 3（特殊情况）是奇函数，且，则是周期函数，周期 是偶函数，且，则是周期函数，周期 例1设是定义在R上的奇函数，且则____0____. 2,已知函数式定义在R上的偶函数，且满足， 当时，，则___1.5_____. 函数的对称 求与已知函数式对称的关系式（求曲线方程对称的方程式）（特殊情况须记牢） = 1 \* GB3 ① x轴 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③原点 ④y=x ⑤y=-x ⑥y=x+b = 7 \* GB3 ⑦y=-x+b = 8 \* GB3 ⑧关于x=a = 9 \* GB3 ⑨关于y=b = 10 \* GB3 ⑩关于（） 中心对称：若关于点对称 例3.已知函数，分别按下列要求写出相应的函数式： 关于轴对称 答案 关于轴对称 关于对称 关于对称 关于对称 例4 。已知函数（1）求 函数具有怎样的对称性？ 4.记住下列常用结论 是偶函数 关于对称 类似：的图像关于成轴对称对称 是奇函数 关于（b,0）成中心对称。 类似：的图像关于成中心对称。 一般地 若 关于点成中心对称。 例5.已知定义域为R的函数在上位增函数，且函数为偶函数，试比较的大小。 答案 5.初等函数的对称性 二次函数的对称轴是 反比例函数 = 1 \* GB3 ①对称中心（0，0） = 2 \* GB3 ②对称轴 函数 = 1 \* GB3 ①对称中心 对称轴方程和 偶函数的对称轴是y轴 奇函数的对称中心是原点。 例6.（1）的对称中心是 _（-3,2））_______.对称方程是 _ _______， （2）函数的对称中心是____（3,11）____. 6.注意下列对称的区别 （1）如果满足的图像关于对称。 （2）函数与函数的图像关于y轴对称。 （3）若满足的图像关于对称 （4）函数与函数的图像关于对称。 例7.（1）函数与函数的图像关于________对称. （2）对于定义域为R的函数，有下述四个命题： = 1 \* GB3 ①若是奇函数，则的图像关于点A(1,0）对称。 = 2 \* GB3 ②则函数的图像关于对称， = 3 \* GB3 ③若函数的图像关于对称，则是偶函数， = 4 \* GB3 ④函数与函数的图像关于对称。 其中正确命题的序号是____??____ 7.考题选讲 例8.定义在R上且不恒为零的函数，满足且为奇函数，给出下列命题： = 1 \* GB3 ①函数的最小正周期为 ； = 2 \* GB3 ②函数的图像关于点（，0）对称； = 3 \* GB3 ③函数的图像关于轴对称。 其中真命题的序号是___??_____ 例9.设函数上满足，且在闭区间 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程在闭区间上的根的个数。 例10.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根则_____-8___ 8.巩固练习 （1）已知函数满足且是偶函数，又当， 则________ （2）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个周期，若将方程的闭区间上的根的个数记为n,则n可能是__D______ A.0 B.1 C.3 D.5 设函数是定义在R上的奇函数，且， 当时， ?找出函数的对称轴 ?当时，求函数的解析式 ?若 且,求的取值范围。