谈解析几何解题中的设而不求技术.docVIP

PAGE 1 谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术 什么是“设而不求” ? 我们先看下面的例子: 过圆外一点P(a,b)引圆x2+y2=R2的两条切线，求经过两切点的直线方程. 按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看: 【解析】设两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程分别为：x1x+y1y=R2,x2x+y2y=R2. ∵切线经过点P(a,b),∴ax1+by1=R2,ax2+by2=R2. ∵点(x1,y1),(x2,y2)适合方程ax+by=R2,∴所求直线方程为ax+by=R2. 在这里,我们用四个参变量x1, y1,x2 ,y2分别表示两切点A、B的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是“设而不求”. 哪些问题可以实施“设而不求”? 【题1】椭圆 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是 【解析】设弦两端分别无A（x1，y1），B（x2，y2），则有 （1）-（2）： （3） 由条件：AB中点为（4，2），∴ ∴ 故所求直线方程为：. 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”. 【题2】已知直线（0ba且b∈Z）交于M、N两点，B是椭圆的上顶点，△BMN的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C的方程. 【解析】设直线 且 但点M、N在直线 椭圆上顶点为B（0，b），且椭圆右焦点F（c，0）为△BMN的重心， 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施“设而不求”. 【题3】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程. 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y=x2上两点，那么： 设AB中点为M(x,y),那么： ∴|AB|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=(1+4x2)(x1－x2)2=(1+4x2)[(x1+x2)2－4x1x2] =(1+4x2)[4x2－4(2x2－y)]=4（1+4x2）（y－x2） 已知|AB|=2.∴(1+4x2)(y－x2)=1,所求点M的轨迹方程为：y=x2+. 【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”. 【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’. 以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是, “设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看： 考场精彩 【题4】（高考题）P.Q.M.N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知且求四边形PMQN的面积的最大值与最小值. 【分析】（1）∵PQ⊥MN，S四边形PMQN=，故应先求椭圆的弦PQ与MN之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”. （2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ⊥MN，弦PQ与MN之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之. 【解析】椭圆的上交点为F（1，0）. 设直线PQ的参数方程为： α∈，t为参数.代入椭圆方程： 设此方程之二根为t1，t2,则|PQ|=|t1-t2|= |MN|= 于是 当α=0时，Smax=2；当α=时，Smin=. 【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的. 【题5】（高考题） 设A、B是椭圆上两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。 ?（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程; （2）试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一圆上？并说明理由. 【分析】（1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”； （2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识. 【解析】（1）∵点在椭圆内，∴3·12+32λ，即λ12，∴λ∈（12，+∝）.设AB两端为A（x1，y1），B（x2，y2），则有： （1）-（2）： 3（x1-x2