微分方程习题及答案.docVIP

. . 微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1） （2） 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）； （2）. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。 （3）曲线上的点P处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）. 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 3. 求下列微分方程的通解 （1）； （2）. 4. 求下列微分方程的特解 （1）； （2）. 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）； （2） （3） （4） 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于轴的直线和轴所围城三角形面积等于常数. B B A P(x,y) 7. 设质量为的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时速度为0，求物体速度与时间的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？ §3 一阶线性方程与贝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 2．求下列微分方程的特解 （1）； (2) 3．一 曲线过原点，在处切线斜率为，求该曲线方程. 4．设可导函数满足方程 ，求. 5．设有一个由电阻，电感，电流电压串联组成之电路，合上开关，求电路中电流和时间之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) （2） （3） （4） §4 可降阶的高阶方程 1.求下列方程通解。 ；（2）； （2） 3．求的经过且在与直线相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：可推出是线性函数；可取正或负 5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为，出板速度为，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？ §5 高阶线性微分方程 1.已知是二阶线性微分方程的解，试证是的解 2.已知二阶线性微分方程的三个特解，试求此方程满足的特解. 3．验证是微分方程的解，并求其通解. §6 二阶常系数齐次线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）. 2．求下列微分方程的特解 （1） （2） （3） 3.设单摆摆长为，质量为，开始时偏移一个小角度，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间变化的规律. P P mg 4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。O O 5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面. O O §7 二阶常系数非齐次线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2．求下列微分方程的特解 （1）； （2） 3.设连续函数满足 求. 4.一质量为的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为），求此物体之运动规律. O O P 5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间. O O P 6.大炮以仰角、初速发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线. §8 欧拉方程及常系数线性微分方程组 1.求下列微分方程的通解 （1）； （2）. 2．求下列微分方程组的通解 （1） （2） 自测题 1.求下列微分方程的解。 （1）； （2）； （3）； （