专题七：直线、圆与方程、轨迹方程-学生版2.4-2.5.docVIP

PAGE 2 专题七：直线与方程、圆与方程、轨迹方程2.24-2.25 一、直线与方程 【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在. ②经过两点的直线的斜率公式是 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； ②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知，若，则有A、B、C三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有 特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有 注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； （由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.） 【知识点三：直线的方程】 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 ①点斜式 为直线上一定点， 为斜率 不包括垂直于轴的直线 ②斜截式 为斜率，是直线在轴 上的截距 不包括垂直于轴的直线 ③两点式 不包括垂直于轴和轴的直线 ④截距式 是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或过原点的直线 ⑤一般式 无限制，可表示任何位置的直线 问题：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若，直线垂直于轴,方程为； (2)若，直线垂直于轴,方程为； (3)若，直线方程可用两点式表示 直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。 截距式方程的应用 ①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+； ②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S= ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则或直线过原点，常设此方程为 （2）线段的中点坐标公式 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点 设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解。 ①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离 两点间的距离：平面上的两点间的距离公式 特别地，原点与任一点的距离 点到直线的距离：点到直线的距离 两条平行线间的距离：两条平行线间的距离 注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 二、圆与方程 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 圆的方程 1、标准方程，圆心，半径为r； 2、点与圆的位置关系： ，点在圆外，=，点在圆上，，点在圆内； 3、一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。 4、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 5、求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 6、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有 ；；； ；；； （2）过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 7、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），