微积分及经济学应用.doc

. PAGE . 第3章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量和，对任意给定的值，仅存在一个值与其对应，则称是的函数，表示为。 其中为自变量，为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。能够取得的所有值的集合称为函数定义域，能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为，需求量为，供给量为。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：，。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用的形式来表示，它表示因变量的值取决于个自变量的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为，其中表示消费者的效用，是对种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为，为产出水平，表示资本，表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5; 3.2水平曲线 二元函数的水平曲线定义为：，为常数，它表示曲面上值为常数的点连接而成的曲线。 对于三元函数，称为水平曲面，它表示值为常数的点连接而成的曲面。 水平曲线在经济学中有重要的应用，如生产函数为，其中为产出，为劳动力，为资金，如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入和资金投入的所有可能组合，且每一个点对应一个值，所有对应的点（L，K）连接起来就是一条曲线，这条曲线就是一条水平曲线，经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线，实际上这条曲线是用平面截曲面所得曲线在平面的投影。自然这条曲线上所有点对应的值为5，如下图中，点A、B、C、D对应的值皆为5，因此将这条水平线也称为等值线、等高线，E点则代表产出为10的等产量曲线，F点则代表产出为15的等产量曲线，可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。 在消费理论中，假设消费者只消费两种商品，那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。如果用表示效用，分别表示这两种商品的消费量，那么它的效用函数就是二元函数，可以表示为。平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合，平面上的每一点对应曲面上的一个值。如果将对应的点连起来就表示在效用水平为的情况下的一条水平曲线。经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。 3.3 极限 1.极限的定义 数列极限的定义：在数列中，任取，如果存在，使得当时，，则称当趋于无穷大时，为的极限。表示为： 或者。 在数列中，与一一对应，因此可以将视为定义域为正整数的函数。因此对数列极限的定义进行推广，就可以得到函数当和极限的定义。 函数极限的定义 当时函数极限的定义：任取，存在，使得当时， ，那么常数为当时的极限，记为或者 。 当时函数极限的定义：任取，存在，使得当时，，那么常数为当时的极限，记为或者。 2. 左极限与右极限 当从的左侧（即小于的方向）趋向于（记为），若此时有极限，则称为当时的左极限。记为或者。 当从的右侧（即大于的方向）趋向于（记为），若此时有极限，则称为当时的右极限。记为或者。 3. 极限的运算法则 定理：如果，，且A，B有限则 (1) (2) (3) (4) 4. 两个重要的极限 (1) ，(2) 3.4连续复利 连续复利的计算，是函数极限在经济学的经典应用。假设一个人将元存入银行，银行年利率为，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为。 如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为，则年底时，他的存款总额应为元。 当银行每年计息次，可以推得，年底时存款总额应为元。 当银行在年内连续计息时，即时，年底存款总额为元。对其求极限可以得到： 因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为元。 我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为元，则可以得出年末的存款余额为元。 因此，连续复利时，本金为元，年利率为，则年末的资金余额为：元。 同样可以得到，年末的资金元，在连续复利的情况下，贴现值为：。 3.5一元函数的导数 1. 一元函数导数的定义：设为定义在集合上的一元函数，，则函数在点处的导数定义为： 或 2. 导数的四则运算法则： 设函数和都在点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在点可导。 (1) (为常数)； (2) ； (3) ； (4) ， 3．复合函数的导数——链式法则 设函数是