微分方程数值解实验报告.docVIP

. . 微分方程数值解法 课程设计报告 班级： _______ 姓名： ___ 学号： __________ 成绩： 2017年 6月 21 日 摘 要 自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 关键词：微分方程数值解、MATLAB 目 录 摘 要 2 TOC \o 1-3 \h \z \u 目 录 3 第一章 常微分方程数值解法的基本思想与原理 4 1.1 常微分方程数值解法的基本思路 4 1.2用matlab编写源程序 4 1 .3 常微分方程数值解法应用举例及结果 5 第二章 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 6 2.1 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 6 2.2 用matlab编写源程序 7 2 .3 常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果 8 第三章 椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理 10 3.1 椭圆型方程的五点差分格式的基本思路 10 3 .2 用matlab编写源程序 10 3 .3 椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果 12 第四章 总结 12 参考文献 12 第一章 常微分方程数值解法的基本思想与原理 1.1常微分方程数值解法的基本思路 常微分方程数值解法(numerical methods forordinary differential equations)计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展. 1.2用matlab编写源程序 龙格库塔法： M文件: function dx=Lorenz(t,x) %r=28,sigma=10,b=8/3dx=[-10*(x(1)-x(2));-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-8*x(3)/3]; 运行程序： x0=[1,1,1];[t,y]=ode45(Lorenz,[0,100],x0);subplot(2,1,1) %两行一列的图第一个plot(t,y(:,3)) xlabel(time);ylabel(z);%画z-t图像 subplot(2,2,3)?%两行两列的图第三个plot(y(:,1),y(:,2)) xlabel(x);ylabel(y); %画x-y图像 subplot(2,2,4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))? xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);%画xyz图像 欧拉法： h=0.010; a=16; b=4; c=49.52; x=5; y=10; z=10; Y=[]; for i=1:800 x1=x+h*a*(y-x); y1=y+h*(c*x-x*z-y); z1=z+h*(x*y-b*z); x=x1; y=y1; z=z1; Y(i,:)=[x y z]; end plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3)); 1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果 应用举例： a=10,b=8/3,0r+∞,当1r24.74时，Lorenz方程有两个稳定的不动点c(，，r-1)和（-，-，r-1），一个稳定的不动点0=（0，0，0），当r24.74时，c和都变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。 运行结果： 龙格库塔法： 欧拉法： 第二章 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 2.1 常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 用有限差分法解常系数扩散方程 有加权隐式差分格式 其中，当时为Crank-Nicolson格式，当时为向后差分格式，当时为向前差分格式。 加权隐式格式稳定的条件是