湘教版高中数学必修1二次函数的图像和性质——增减性和最值.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * 【课标要求】 二次函数的图象和性质 ——增减性和最值 了解二次函数的定义． 掌握二次函数的图象及增减性和最值． 1． 2． 自学导引 上（下） 如何求二次函数在给定区间上的最值？ 提示　常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，其最值在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论． 自主探究 若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则 (　　)． A．m为任意实数　　　　 B．m≠1 C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1 解析　由m－1≠0，得m≠1，故选B. 答案　B 预习测评 1． 答案　D 函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________． 函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－1]时是递减函数，则m的取值范围是____________． 答案　m≥－4  3． 4． 二次函数的系数对抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)形状的影响 (1)a决定开口方向及开口大小．当a0时，开口向上；当a0时，开口向下． 当|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同；当|a|逐渐变大时，抛物线开口程度逐渐变小；当|a|→＋∞，抛物线渐变为y轴；当|a|逐渐变小时，抛物线开口程度逐渐变大；当|a|→0时，抛物线逐渐变为x轴． 名师点睛 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置． 当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)． ①c＝0时，抛物线经过原点； ②c0时，抛物线与y轴交于正半轴； ③c0时，抛物线与y轴交于负半轴． 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式． 题型一　求二次函数的解析式 【例1】 典例剖析 由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1. 代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去)． ∴b＝4，c＝7. 因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二　利用二次函数顶点式． 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， 点评　用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)． f(x)是二次函数且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)解析式． 解　待定系数法，设f(x)＝ax2＋bx＋c. ∵f(0)＝c＝0 f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b) f(x)＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1 【变式1】 f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围． 题型二　二次函数的增减性 【例2】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数． 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， x∈[－5，5]，1∈[－5，5]．∴当x＝1时，f(x)min＝1； 当x＝－5时，f(x)max＝37. (2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2， 其图象对称轴为x＝－a. ∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5. 故a的取值范围是a≤－5或a≥5. 【变式2】 求函数y＝x2－2ax－1在[0，2]上的值域． 解　①当a0时，ymin＝f(0)＝－1， ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a， 所以函数的值域为[－1，3－4a]． ②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)， ymax＝f(2)＝3－4a， 所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]． ③当1a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)， ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]． ④当a2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1， 所以函数的值域为[3－4a，－1]． 题型三　求二次函数的值域或最值 【例3】 点评 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该