湘教版高中数学必修1分段函数.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * 【课标要求】 分段函数 了解分段函数的概念； 会画分段函数的图象； 能解决相关问题． 1． 2． 3． 如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的_______给出，这种函数叫作_________ ． 分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数． 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是空集． 作分段函数图象时，应_____________________ ． 自学导引 1． 2． 3． 4． 解析式 分段函数 对应关系 并集 分别作出每一段的图象 如何判断分段函数的奇偶性？ 提示　先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系，首先要注意x与－x的范围，然后将它代入相应的函数表达式中． 自主探究 2． 答案　B 预习测评 解析　f(1)＝0，∴f(f(1))＝0. 答案　A 答案　(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析　由题意知，当x0时，x＋12，解得x1； 当x＝0时，无解； 当x0时，－(x＋1)2，解得x－3， 故不等式的解集为{x|x－3或x1}． 答案　{x|x－3或x1} 分段函数 (1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们合为一个整体表示一个函数． (2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“。”表示． 名师点睛 (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集；区间端点应不重不漏．求分段函数的值域也是分别求出各段上的值域后取并集； (4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系． (5)求分段函数最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段中的最大(小)值． 题型一　作分段函数的图象 【例1】 典例剖析 (2)函数f(x)的图象如图所示： 点评　对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分． 【变式1】 图(1) 如图(2)所示 图(2) 题型二　分段函数的求值 【例2】 点评　对于f(a)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a所在范围有关．因此要对a进行讨论，由此我们可以得出：(1)分段函数的函数值要分段去求. (2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要产生的． 【变式2】 解　∵－30，∴f(－3)＝0，∴f(f(－3))＝f(0)＝π， 又π0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1， 即f(f(f(－3)))＝π＋1. 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD 位于直线MN左边部分的面积y写成关于x的函数，并指出其定义域和值域． 题型三　分段函数的实际应用 【例3】 点评　由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可． 注意：求分段函数的解析式时，最后要把各段综合在一起写成一个函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B (起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)画出y＝f(x)的图象． 【变式3】 [错解]　由x2－1＝3，得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析　本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，上述解法没有注意x的取值范围，造成增解． [正解]　当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2. 误区警示　 　因忽视分段函数自变量的范围而出错 【例4】 纠错心得　对于分段函数分为几部分应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求某个自变量的函数值，容易不看自变量的范围直接代入解析式而求错解． 关于分段函数应注意的几点： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)处理