湘教版高中数学选修3-1微积分诞生的社会需求和数学准备.ppt

微积分诞生的社会需求和数学准备 聊聊天 微积分的产生——17、18、19世纪的微积分. 很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者…… 开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、…… . 十七世纪的微积分 狄德罗：18世纪法国唯物主义哲学家，美学家，文学家，百科全书派代表人物，第一部法国《百科全书》主编。 随着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。 哪些主要的科学问题呢? 有四种主要类型的问题. 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。 微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆的联系着。 公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人，例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的奠基作出过贡献。 事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。 1. 牛顿（Newton） 数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。 牛顿（1642~1727年），英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲是在他出生前两个月去世的。 2. 莱布尼茨（Leibniz） 莱布尼茨（1646~1716年）是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文《论组合的艺术》获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。 十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源产生了数学的一些主要的新分支，如微分方程，无穷级数，微分几何，变分法，复变函数等等。其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就已经出现了。十八世纪，人们大量地致力于这些分析分支的发展。但是在这一发展完成之前，首先必须扩展