湘教版高中数学选修3-4对称和群用根式解方程.ppt

用根式解方程 一次方程和二次方程的解法在两千多年以前人们就知道了。但探求三次以上方程的解法却经过了漫长的努力。 数学家们经过两千多年的努力，终于在15、16世纪欧洲的文艺复兴时代找到了三次方程和四次方程的求根公式。紧接着，自然要探索五次方程的解法，但在其后的300年中一直未得到成功。 到了19世纪初，一些思想深刻的数学家像高斯等已经猜到一般的五次方程也许不一定能用根式解，但出于谨慎未发表他们的想法。 到了1826年，挪威数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的一般方程没有根式解。所谓一般方程是指形如 的方程，其中系数是任意的数。 显然并不是每个次数大于或等于5的方程都没有根式解，比如所谓二项方程 xn－a ＝ 0 是可以用根式解的。 什么样的方程可以用根式解，什么样的方程又不能用根式解呢？ 这个问题阿贝尔并没有解决。解决这个问题的是著名法国数学家伽罗瓦。 伽罗瓦 伽罗瓦是怎样解决高次方程的根式解问题呢？ 伽罗瓦对于每个方程定义了一个群，今天就叫作该方程的伽罗瓦群。 他仔细研究了这个群的性质，证明了方程有根式解的充分必要条件是它所对应的伽罗瓦群有所谓的“可解性”。这样，他就能利用方程的伽罗瓦群的性质来判断该方程是否有根式解。 更详细的要看讲述伽罗瓦理论的专门书籍或小册子。 谢谢