湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充利用刻度尺的作图法.ppt

利用刻度尺的作图法 如果说三等分角是不可能的作图问题，你可能会感到遗憾。你会想：要是在实际作图中需要三等分角，难道就束手无策了吗？不会束手无策！有很多实用的三等分角的方法可供使用。比如，可以用量角器量出角的度数来三等分。下面介绍另外几种作法。 方法一 已知任意角∠MON.不妨假定它是锐角. 求作∠MOC= ∠MON. 画法 1.在直尺上标出两个不同的刻度K，T.（如果直尺上原来就有刻度，则任取两个不同的刻度分别作为K，T.） 2.用圆规截取线段KT之长r.以O为圆心，r为半径画圆分别交OM，ON于A，B，并且与OM的反向延长线OM′交于A′. 3.先让直尺的一个刻度K与A′重合，且直尺的边经过B点.再让刻度K从A′出发沿着射线OM′向M′的方向移动，且始终保持直尺的边经过B点. 则直尺的边与圆周的另一交点R（即：除了B点之外的另一个交点）与刻度K的距离从0开始逐渐增加，与刻度K的距离从0开始逐渐增加，R也就在刻度K，T之间从K到T移动. 4.用圆规截取A′R之长度d.以A为圆心，长度d为半径画圆弧交圆弧AB于C.则∠MOC=∠ MON.  证明 记 α=∠M0N,θ=0QR.连接OR.由画法知 QR=r=0R=0B. 于是 ∠R0Q=∠0QR= O, ∠0BR=∠0RB=∠R0Q+∠RQ0=2θ,  α=∠M0N=∠0BR+∠RQ0 =2θ+θ=3θ ∠M0C=θ= α 以上作图法很容易实现，是一种实用的三等分角作图法。既然有这样简单易行的利用圆规和直尺作图的方法，为什么还说三等分角的尺规作图法是不可能的呢？原来，古希腊几何学中所说的“尺规作图”对圆规和直尺的使用方式有一定的限制： 1.直尺必须是没有刻度的，它的唯一功能是过两个已知点作一条直线。 2.圆规的唯一功能是以已知点为圆心，以已知长度为半径作圆。 3.由已知图形产生新的点的唯一方式就是从已知图形出发，按以上两种方式画直线或圆，这些圆或直线两两的交点。 上述作图法虽然实用，但直尺上刻了标度，直尺的使用也不是过两个已知点作直线，因而不符合尺规作图法的规则，不是所要求的的尺规作图法。 想一想 如果不是锐角怎么办？ 谢 谢