湘教版高中数学选修4-6初等数论初步互素的整数.ppt

互素的整数 例1 （1）Z7中的哪些元素可逆？并求出它们的逆。 （2）Z12中的哪些元素可逆？并求出它们的逆。 解：（1）对满足条件r≤6的整数r，7都不是r的约数，1≤（r，7）=d≠7，但是d|7，因此d=1，（r，7）=1， 在Z7中可逆。也就是说，Z7其中的所有不为零的元素 都可逆，它们分别是为： （2）设正整数r≤11。12仅有的正的质因数为2，3，因此如图所示： 且 或11。 Z12中的可逆元为 。它们的逆分别为： 例2 设p是素数，则Z12中所有的非零元 都可逆。 解：设d=（p，r）。则d∣p=d=1或d=p。 但 唯一的可能性是d=1，（p，r）=1。 因此方程rx-px=1有整数解 可逆。 例3 设a，b，c是整数，并且a，b互素，求证a|bc=a|bc。 证明：a|bc⇔bc≡0（mod a)。由于a，b互素，存在整数u使ub≡1（mod a)。在bc ≡0（mod a)两边同乘以u得： ubc≡0（mod a) 将ub≡1（mod a)代入得 c≡0（mod a)即a∣c。 例4 设（a，b）=（a，c）=1，求证（a，bc）=1。 证明：（a，b）=1=存在整数u使 bu≡1（mod a)。 ① （a，c）=1=存在整数u使 cv≡1（mod a)。 ② ①②相乘，得 （bc）（uv）≡1（mod a)。 这也就是说：存在整数y使（bc）（uv）=1+ay即a（-y）=1 可见（a，bc）=1。 例4的证明也可以用Za中的同余类运算改写：由于（a，b）=（a，c）=1， ， 在Za 中可逆。由 知道 在Za中 可逆，因而（bc，a）=1。 例5 设整数a与n个整数b1，b2，…bn中的每个互素，即 （a，b1）=（a，b2）=…=（a，bn）=1。 求证：b与这n个整数的乘积b1，b2，…bn互素。 证明略去，请利用例4的结论一步步推出来。 求所有的由三个自然数a，b，c组成的数组，使数组中任意三个数的乘积除以剩下的一个数的余数是1。 今天的学习到此结束，大家都学会了么？ 谢谢