湘教版高中数学必修1幂函数的图象和性质.ppt

幂函数的图象和性质 R 增 奇 [0，＋∞) (－∞，0) [0，＋∞) 偶 [预习导引] 1．幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次的) ． {x|x≠0} 减 减 奇 幂函数 2．幂函数的图象与性质 [0，＋∞) (－∞，0) ∪ (0，＋∞) [0， ＋∞) [0，＋∞) {y|y∈R， 且y≠0} 奇偶性 单调性 x∈[0，＋∞) x∈ (－∞，0] x∈(0，＋∞) x∈ (－∞，0) 定点 增 减 增 增 减 减 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 增 (1,1) 解　根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函 数，不合要求 ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3. 规律方法　1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻． 2．幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错． 跟踪演练1　(2014·吉林高一检测)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________. 答案　10 规律方法　幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸． 要点三　比较幂的大小 例3　比较下列各组数中两个数的大小： (4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4. 规律方法　1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数． 2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x　　　　　　 B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案　B 解析　函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) 答案　A 解析　可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3. 答案　a＞b＞c 答案　2 1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量． 2．幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数. 再见