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关于《复变函数》可视化教学实践 摘要：探讨利用Mat 1 ab软件可视化复变函数的教学心 得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。 关键词：可视化复变函数 教学实践 随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学 手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程 与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学 问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改 革的一个重要方面。复变函数是高等数学的一个重要分支， 是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂， 大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。 目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、 计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视 化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化 在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结 了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意 的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的， 也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课 题等等。本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践, 总结的一些教学心得。 1复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语 复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和 学生本身必须熟悉计算机编程语言。原则上，可以通过C, FORTRAN等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于 Mat lab语言编程o Mat lab 是美国M athWorks 公司20 世 纪80年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓 越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。由于 Mat lab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用 双精度表示，再加上Matlab中具有丰富的数学函数库使得 计算更加简便，所以利用Matlab编写复变函数程序更加方 便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。在《复 变函数》教学中Matlab的应用非常广泛，可以用来可视化 函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用 到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考 文献［1］。将Mat lab应用到《复变函数》教学中，可以简 化计算过程，直观地表示函数及表达式的图形，使抽象的数 学知识变得生动、形象。这样就很容易激发学生的学习兴趣, 同时在利用Matlab进行计算和绘图的过程中，需要学生自 己参与编程，这也培养了学生的创新精神和创新能力，有效 地提高了教学效果, 地提高了教学效果, 增强了学生计算机编程的能力 2复变函数可视化有利于培养学生空间想象能力 众所周知，一元实变量函数y二f (x)表示平面xy上的 一条曲线；二元实变量函数z=f (x, y)表示空间xyz上的 一个曲面。而对于复变函数w=f (z)来说不再那么简单，因 为假设z=x+iy (其中i为虚数单位)为复变量，函数w=f (z) 通过整理可以表示为w=u (x, y) +iv (x, y),其实部u (x, y)和虚部v (x, y)都是二元实变量函数，如果要画出复变 函数的图像，就需要四个量表示，显然三维图形是不能完整 地表现复变函数的图像。例如：w二z2二(x+y) 2=x2-y2+i2xy, 这里 w 的实部 u (x, y) =x2-y2, w 的虚部 v (x, y) =2xy, 显然w对应两个二元实函数，很难在一个图形上表示出来。 为了克服这样的困难,Mat lab表现四维空间数据的方法是用 三个空间坐标再加上颜色。具体画法是以xy平面表示自变 量所在复平面，z轴表示复变函数值的实部，将复变函数虚 部值和颜色建2)； %给图像标出题目w=z2 就可以画出w二z2的图像了。对四维空间几何图形的表 示，学生才开始理解起来比较困难，教师一方面需要反复讲 解四维空间几何图形的表示方法，另一方面也要讲明白实部 和虚部所表示的物理意义。例如电场W二u (x, y) +iv (x, y) 实部u虚部v分别表示力函数和势函数，有定理保证了等势 线与等离线在相交处相互垂直，结合图形，同学们可以大致 观察出电场强度和受力情况，加深对场论的理解。受到四维 空间的几何图形表示方法的启发，我们就可以引导学生表示 更高维数空间的几何图形，例如引入时间变量，加入动态效 果，添加声音等措施。这样不仅培养了学生空间想象能力， 也激发学生探索知识的兴趣。 3复变函数可视化有利于帮助学生深入理解课程内容 复变函数中，多值函数的内容是一个难点，处理起来相 对棘手，我们可以借助可视化方法，让学生观察图像，看出 多值函数的性质，引导学生寻找化复杂数学问题为简单数学 问题的方法。例如通过让学生观察w=?图形，提出为什么需 要引入支点，支割线的概念［3］。实际上支点，支割线的概