湘教版高中数学选修3-4对称和群对称变换的合成.ppt

对称变换的合成 项链问题 问题的提法： 用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链， 问可做成多少种不同类型的项链？ 这里所说的不同类型的项链，指两个 项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。 数学上的确切描述 设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。 沿逆时针方向给珠子标号， 由于每一颗珠子的颜色有n种选 择，因而用乘法原理，这些有标 号的项链共有nm种。 但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。 设X={1，2，…m}, 代表m颗珠子的集合， 它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子 标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链. 为n种颜色的集合. 则每一个映射 代表一个有标号 的项链. ，它是全部有 令 标号项链的集合，显然有 ，是全部有标号项链的数目. 设 ，其中 现在考虑二面体群 对集合 的作用： 定义 则 ，所以 . 对 的作用为 其直观意义是， 对 的作用就是 使 对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而 与 是同一类型的 属于同一轨道. 与 因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同 类型项链数目就是 对 ，可用Burnside引理求解. 作用下的轨道数目 下一个关键问题是： 如何求 在 上的不动点数 的循环置换分解式可表为 对应式（1）中同一循环置换 （1） 中的珠子有相同的颜色. ，这与 的置换类型有关. 是一个 型置换. 设 例如，设 ，则 故 是 的一个不动点. 反之，若对应 ，则 故 不是 的不动点. 的循环置换分解式中某个 循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如 下面我们来进一步计算不动点数 而满足 的 ，对应于 的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同， 因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有 n种选择. 而 所含的循环置换个数为 所以满足条件 的项链颜色有 种选择 故 将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为 其中和式是对 进一步表示为 其中 和式是对所有可能的不同置换类型求和. 中每一个置换求和. 为同一类型的群元素个数， 例 用3种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？ 解 按类型计算每一个群元素的不动点数： 型置换有1个，每一个元素的不动点数为 型置换有3个，每一个元素的不动点数为 型置换有4个，每一个元素的不动点数为 型置换有2个，每一个元素的不动点数为 型置换有2个，每一个元素的不动点数为 所以 . 作业： 用黑白两种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？ 1 2 3 4 5 (1) 15 25 (12345) 51 2 (13524) 51 (14253) 51 (15432) 51 (25) (34) 11 22 23 (13) (45) 11 22 (15) (24) 11 22 (14) (23) 11 22 (12) (35) 11 22 谢谢观看