湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲圆柱面的截面的焦球.ppt

圆柱面的截面的焦球 设圆柱面的准线为圆O，半径为r，以轴线上任一点S为圆心，以r为半径作球，此球与柱面的公共点是以S为圆心、r为半径的圆S；它也就是过S并垂直于母线的平面截割圆柱面所得的截线，是一条准线. 一、焦球 因为圆S上的每个点都在圆柱面上并且到球心S的距离等于球半径r.所以都是球面和圆柱面的公共点.另一方面，圆柱面上的其它点T到S连接线断总是某条母线的斜线，而斜线比垂线长，故T到球心S的距离大于r，T在球外.这样的球，叫圆柱面的内切球.圆柱面的每条母线，都是其内切球的切线. 设平面m截割圆柱面，与平面m相切的圆柱面的内切球叫做截割平面m的焦球. 两个焦球的平面m的切点恰好是截线椭圆的两个焦点. 如图，平面m和它的两个焦球G，F分别相切于M，N，设P是截线上的任一点，过P点的母线和两个角球分别相切于A，B. 则有： PM+PN=PA+PB=AB=GF. 二、焦球相关推论 例：已知圆柱面的半径r=3，截割平面m与母线所成的角β=30°，求此截割平面的两个焦球球心的距离. 三、典例精讲 解法一：两个焦球球心的距离等于截线椭圆的长轴b；而2r与长轴b的比等于平面m与准线平面n夹角α的余弦；因为母线垂直于准线平面，故截割平面m与母线所成的角β与α互为余角. 综上可得： 解法二：自两焦球球心F，G向平面m分别引垂足A，B，则F，A，G，B在同一平面上,为什么？ 如右图，两焦球与平面FAGB的交线为两个半径为r的圆，公切线AB和连心线GF交于M，可知MG=MF.且由已知条件∠AMF=30°，于是，MF=2AF=2r=6，两球心距离FG=2MF=12. 谢谢