湘教版高中数学选修4-6初等数论初步带余除法.ppt

带余除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1， 即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。　　 定义 设a与b是两个整数，b 0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得 定义2：（1）式通常写成 并称q为a被b除所得的不完全商； r叫做a被b除所得的余数； (2)式称为带余数除法。 提醒：除数＞余数 证明： 存在性：考虑整数序列 则a必在序列的某两项之间， 即存在一个整数q，使得 例 利用带余数除法，由a, b的值求q, r . 例1 一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。 分析 这是一道带余除法题，且要求的数是 大于41的两位数. 解题可从带余除式入手分析。 解：∵被除数÷除数=商…余数，　　即被除数=除数×商+余数，　　∴251=除数×商+41，　　 251-41=除数×商，　　∴210=除数×商。 现在怎么办呢？ 因式分解 ∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70， 其中42和70大于余数41.所以除数是42或70. 即要求的两位数是42或70。 这些可能都可以吗？ 除数＞余数 　　解：∵被除数=除数×商+余数，　　即被除数=除数×40+16。　　由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，　　∴（除数×40+16）+除数=877，　　∴除数×41=877-16， 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 思考：是否就是关于除数和减去余数的被除数的和倍问题 除数=861÷41，　　除数=21，　　∴被除数=21×40+16=856。　　答：被除数是856，除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？ 解：十月份共有31天，每周共有7天，　　∵31=7×4+3，　　∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。　　∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？　 解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），　　从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。　　 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树 梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70， 用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的 和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解 法如下：　 2×70+3×21+2×15=233　　233-105×2=23　　符合条件的最小自然数是23。 分析：本题我们可以采用“逐级满足法”先求出满足3、5两数的最小数， 然后在不改变余数的基础上求满足7的最小数。 解：：[3，7]+2=23　　23除以5恰好余3。　　所以，符合条件的最小自然数是23。 还可以直接列举 例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然 数。 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。　　解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。　　想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，　　又148＜210=[5，6，7]　　所以，适合条件的最小的自然数是148。 例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 　　解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？　　2+3×2=8。　　再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？　　8+[3，5]×3=53。　　∴符合条件的最小的自然数是53。 　归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条 件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要 加上已满足条件中除数的倍数。 例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？ 　解：2+[5，7]×1=37（个）　　∵3