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关于两个随机变量与分布类型探究 摘要：在概率论的学习中，学生对于两个随机变 量和的分布类型很迷茫，简单地认为两个连续型随机变量的 和一定是连续型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型 也非连续型。本文证明了一个离散型随机变量与一个连续型 随机变量的和在一定条件下为连续型随机变量，发现两个连 续型随机变量的和却不一定是连续型随机变量，而两个非连 续型随机变量的和也可能为连续型随机变量. 关键词：随机变量；离散型；连续型；相互独立 中图分类号：G648文献标识码：B文章编号:1672-1578 (2014) 01-0020-02 1?在概率论的学习中，经常会遇到两个随机变量函数的 分布，特别是两个随机变量和的分布 很多文献都着重研究如何求两个随机变量和的分布，找 寻好的解题方法与技巧，而对于和的分布类型却很少讨论。 而有很多学生误以为两个连续型随机变量的和一定是连续 型，离散型与连续型随机变量的和既非离散型也非连续型。 本文主要分三种不同情况对两个随机变量和的分布类型进 行分析. 两个离散型随机变量和的分布 由于离散型随机变量是只取有限个值或者可列个值的 随机变量，它们的和当然也只取有限个值或可列个值。所以 两个离散型随机变量的和一定是离散型。且当与相互独立 时，有下面的结论： 定理2. 1[1]设X, Y均为离散型随机变量且相互独立， 其中X, Y的分布律分别为 则X, Y的分布律为 (1) 例1[2]设随机变量X与Y相互独立，它们都取非负整 数值，且分布律分别为 则X+Y的分布律为(2) 式称为离散卷积公式. 例如：若，X与Y相互独立，贝％ 若，X与Y相互独立，则 离散型随机变量与连续型随机变量和的分布 定理3.1设为一离散型随机变量，其分布律为(3) 而Y为连续型随机变量，其概率密度为且X与Y相互独 立，则Z=X+Y也一定是连续型随机变量，其概率密度为(4) 证明设Z的分布函数为。由于 组成一个完备事件组，又，则有意义，因此由全概率公 式得 因为X与Y相互独立，则 (6) 因此(7) 从而 例2设随机变量X的概率分布为 ,Y服从(0, 1)上的均匀分布，且X与Y相互独立， 求Z=X+Y的密度函数. 解：的密度函数为(8) 解 由于组成一个完备事件组，且X与Y相互独立，由 定理3.1知，Z=X+Y为连续型随机变量，其密度函数为 于是Z二X+Y的密度函数为 (9) 两个连续型随机变量和的分布 引理4. 1[4]设(X, Y)是二维连续型随机变量，其联 合概率密度为f (x, y),则Z=X+Y为连续型随机变量，且概 率密度为(10) 定理4. 1 [4]设X与Y相互独立，均为连续型随机变量, 其概率密度分别为fx (x), fy (yc) ?则Z=X+Y为连续型随 机变量，概率密度为 (11) 证明因为x,y均为连续型随机变量且相互独立，贝q(x, Y)也是二维连续型随机变量，且联合概率密度为，再由引 理4.1知Z=X+Y为连续型随机变量，且(11)式成立. 例3[4]设X与Y相互独立，且 .则Z=X+Y仍然服从正态分布，且（12） 由定理4. 1知两个相互独立的连续型随机变量的和仍是 连续型随机变量.但如果把定理4. 1中的” X与Y相互独立” 这个条件去掉?对于任意两个连续型随机变量的和结论是否 成立呢？我们先看下面的例子. 例4设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为12的 0-1分布， 令求的分布函数为 解由于组成一个完备事件组，由全概率公式得 因此即Z为连续型随机变量. 分析：因为 所以Z+Y与Z-Y都不是连续型随机变量。而Z和Y都是 连续型随机变量，也就是说两个连续型随机变量的和不一定 是连续型，当然这时Z和Y不独立.我们再来观察，是一连 续型随机变量，说明两个非连续型随机变量的和却有可能为 连续型. 5.结论 以上分析表明，两个离散型随机变量的和是离散型，两 个连续型随机变量的和不一定是连续型随机变量，而两个非 连续型随机变量的和却有可能为连续型随机变量.对于一个 离散型随机变量与一连续型随机变量的和在一定条件下为 连续型随机变量. 参考文献 吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民 大学出版社，2006. 100-102. 张立卓，李博纳，许静.概率论与数理统计解题方 法与技巧[M].北京：北京大学出版社，2009. 94-113. 魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高 等教育出版社，2008. 136-137 韩旭里，谢永钦?概率论与数理统计[M].上海： 复旦大学出版社，2011. 78-79.