湘教版高中数学必修1方程的根与函数的零点.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 【课标要求】 方程的根与函数的零点 能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 理解函数的零点与方程根的关系． 掌握函数零点的性质． 1． 2． 3． 给定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a，b，c∈R)，它的判别式是Δ＝_______， (1)当Δ0时，方程无实数根； (2)当Δ＝0时，方程有两个重根，即x1＝x2＝_____； (3)当Δ0时，方程有两个不等实根； x1＝ _______ ，x2＝ _______ ． 自学导引 1． b2－4ac 这正是曲线(二次函数图象)y＝ax2＋bx＋c和x轴的两个交点的_____； Δ0 坐标 当Δ＝0时方程组只有一组解，这组解正是曲线和x轴公共点的坐标．因此，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0如果有实根，那么这些根正好是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的公共点的_______． 当Δ0时，方程无解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有__________ ． 方程f(x)＝0的实数根又叫作函数y＝f(x)的“_____”． 一个方程f(x)＝g(x)的解就可以看作两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的公共点的_______ ，从这个角度出发，我们可以从图象来观察方程解的_____和分布情况． 2． 横坐标 公共点 零点 横坐标 个数 函数零点的判断 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理． 二次函数零点的性质： (1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)，_________ _______． (2)相邻两个零点之间的所有函数值_________． (3)任意函数，只要它的图象是_________ ，上述性质同样成立． 3． 4． 函数值符 保持同号 不间断的 号改变 函数的“零点”是一个“点”吗？ 提示　函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值． 自主探究 提示　不对，因为f(x)的图象在(－1，1)上不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件． 1． 二次函数y＝2x2＋3x＋2的零点个数是 (　　)． A．2 B．1 C．0 D．无法判断 答案　C 下列说法正确的是 (　　)． A．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根 B．x＝2是方程y＝x2－x－6的零点 C．函数f(x)＝x2－4x＋3的零点是(3，0)和(－1，0) D．二次函数是连续的，当它经过零点时，函数值变号 答案　A 预习测评 1． 2． 已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点x1，x2，…， x2 013，则x1＋x2＋…＋x2 013＝__________． 解析　由y＝f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0， 其余零点互为相反数． 答案　0 3． 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． 解析　由于f(x)＝x2－ax－b有两个零点2和3， ∴2＋3＝a且2×3＝－b， 即a＝5，b＝－6. 4． 函数零点的概念 对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点： (1)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (2)函数零点的求法： 代数法：求方程f(x)＝0的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 名师点睛 1． (2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)0. 若函数f(x)＝ax