湘教版高中数学必修2利用数量积计算长度和角度.ppt

预习导学 课堂讲义 当堂检测 4.5.2　利用数量积计算长度和角度 　利用数量积计算长度和角度 [学习目标] 1．掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义． 2．会利用向量数量积的有关运算进行计算或证明． [知识链接] 1．向量数乘的运算律有哪些？ 答　(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量数量积的运算律有哪些？ 答 (1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，对任意向量a，b和实数λ成立； (3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立． [预习导引] 1．向量的数量积的性质 (1)如果b是单位向量，则a·b＝b·a＝|a|cos〈a，b〉． (2)a·a＝|a|2或|a|＝(长度公式)． (3)cos〈a，b〉＝ ＝(夹角余弦公式)． (4) a·b＝0?a⊥b(垂直条件)． (5)|a·b| |a||b|. (6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. ≤ 要点一　向量模的运算 例1　已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|. 要点二　向量夹角的运算 例2　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 规律方法　求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 跟踪演练2　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 要点三　向量垂直应用 例3　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直． 规律方法　向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0. 跟踪演练3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ 答案　B 答案　B 3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 (　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 答案　－8或5 1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量垂直等价于它们的数量积等于0. 3．在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0. 再见 预习导学 课堂讲义 当堂检测 4.5.2　利用数量积计算长度和角度