湘教版高中数学选修3-4对称和群二次方程求根公式的进一步分析.ppt

二次方程求根公式的进一步分析 初中已经学过二次方程的求根公式，今天我们将再作进一步的讨论。 设方程的首项系数为1，即假定二次方程一般形式为x2＋bx＋c＝0。设它的两个根是x1，x2，则由韦达定理，有x1＋x2＝－b，x1x2＝c。这说明二次方程的系数b，c是它的两个根x1，x2的函数。 为了进一步说明根和系数的关系，我们介绍一下对称多项式的概念，这也是对称性在代数学中的体现。 看二元多项式f1(x，y)＝x2＋y2和f2(x，y)＝x2－y2。在第一个多项式中把变元x，y对调，得到的新多项式仍等于f1(x，y)。而第二个多项式没有这个性质，在这个式子中对调x，y得到的新多项式与f2(x，y)不等。这第一个多项式就叫作对称多项式，而第二个则不是。 对称多项式的概念不只限于二元，一个多元多项式叫作对称的，如果把它的变元作任意的置换，多项式都不改变。 g1(x，y，z)＝xyz＋x＋y＋z 判断以下式子是否是对称多项式？ g2(x，y，z)＝xy－z＋x2＋y 在数学中我们能够证明，任意一个对称多项式都是一些所谓的“初等对称多项式”的多项式。对于二元多项式而言，只有两个初等对称多项式，即x＋y和xy。 f1(x，y)＝x2＋y2 f1(x，y)＝(x＋y)2－2·xy， 这就表示初等对称多项式的多项式。 对于三元或多元多项式也有这个性质，但我们应先找到所有的初等对称多项式。 对于以x，y，z为变元的三元多项式而言，初等对称多项式是x＋y＋z，xy＋yz＋zx和xyz。 那么，二次方程x2＋bx＋c＝0呢？ 二次方程x2＋bx＋c＝0，它的系数（b要换成－b）不仅是根x1，x2的函数，而且是根的初等对称多项式。 任意根的对称多项式都可用方程系数的多项式来表示。 韦达定理给出的第一个等式x1＋x2＝－b是根x1，x2的一次多项式。如果我们能够找到另外一个根x1，x2的一次多项式，它也能用方程的系数来表示，那么用解一次方程组的方法就可以得到二次方程的解了。 这样的一次多项式怎么找呢？ x1－x2，可以吗？ 不行！因为它不是根的对称多项式，不能用方程的系数的多项式表示。 (x1－x2)2 呢？ 行了，它是根的对称多项式，即(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝b2－4c，表示方程系数的多项式。 总结一下，为求二次方程的两个根，我们找到了它们的两个无关的一次方程，其系数由原方程系数加减乘除和开方得到，解这个一次方程组，就得到了原二次方程的根。 谢谢