湘教版高中数学选修3-4对称和群对称变换乘法的性质.ppt

对称变换乘法的性质 对称变换乘法和我们通常习惯的数或多项式的乘法一样吗？今天，我们一起来研究对称变换乘法的性质。 我们仍以平面上的正三角形为例，并沿用以前的符号。 给定正三角形ABC，它的顶点集合是M＝{A，B，C}。它共有6个对称变换，以这些对称变换为元素组成集合T。即T＝{e，α1，α2，β1，β2，β3}。 上节课中我们定义了集合T中的元素的合成，即对称变换的乘法。 我们先复述一下上节已经证明了的这个乘法的第一个重要性质。 性质1：T中任意两个元素的乘积仍在该集合之中，即T对于对称变换的乘法有封闭性。 为了看对称变换的第二个重要性质，我们来研究T中的一个较特殊的元素，即恒等变换e。考查e和T中任何一个元素σ的乘积，即乘积eσ和σe。 与数的乘法相同，为了简便，我们在写乘积式子的时候，也常省略掉乘法的符号“•”，把e•σ记作eσ。 从几何上来看，恒等变换e在△ABC上的作用是把该三角形中的每一点都保持不动。因此，作完恒等变换后再施加另一变换σ得到的结果和只作用变换σ是一样的，即σe＝σ。 同样地，若先作用变换σ，然后再作用把三角形各点都不变的恒等变换e所得到的结果显然也是σ，这说明eσ＝σ。 因此，恒等变换有这样一个性质，即把它乘在任意对称变换σ的左边或右边，其乘积仍为σ。 性质2：T中存在一个元素e，使得对任意元素σ∈T，都有 σe＝eσ＝σ。 这样的元素叫作T中乘法的单位元素。 对称变换第三个重要性质是对于T中的任一个变换σ，都存在一个与之“相逆”的变换τ，满足下面的性质：连续施加这两个变换σ和τ，而且不计次序，△ABC并不改变。用我们引进的乘法概念来说“相逆”的变换τ有性质τσ＝στ＝e。 事实上，这样的对称变换τ的存在性是很容易看出的。 譬如，如果σ是沿轴l逆时针方向旋转一个角度α，那么，可取τ为沿轴ι顺时针方向旋转同一角度α；而如果σ是关于轴li（i＝1，2，3）的反射，则可取τ＝σ，即再反射一次，当然又把该三角形变回原来的位置，即τσ＝e。 同样，若我们先施加τ，再施加σ，也得到στ＝e。 性质3：对于T中的任一个元素σ，都存在元素τ∈T使得 στ＝τσ＝e。 这样的元素T叫作元素σ的逆元素，通常记作σ－1。 对称变换第四个重要的性质与数的乘法运算类似，也满足通常数的乘法所满足的结合律，即对任意的σ，τ，ρ∈T，都有 ρ(τσ)＝(ρτ)σ。 ① 为了验证对称变换的乘法满足结合律，我们可以任取三个元素σ，τ，ρ∈T，来检验①式是否成立。请同学们取σ＝α1，τ＝β1，ρ＝α2来具体地计算一下。 我们将给出一个证明，这是变换乘法成立结合律的最简单的证明，并且是抓住了变换乘法运算本质的证明。 现在任给x∈S，根据变换乘法的定义，有 (ρ(τσ))(x)＝ρ ((τσ) (x))＝(ρ(τ(σ(x))) ， 而 ((ρτ)σ)(x)＝(ρτ)(σ(x))＝(ρ(τ(σ(x)))。 因此，①式成立。 因为集合S的变换是该集合S到自身的一一映射，为证明①式，只需证S中任一元素在①式两端的变换作用下的像相等即可。 注意，上面的证明并没有用到对称变换的特殊性。 证明 事实上，对任意变换，即一一映射的乘法（连续施加）都成立结合律。而且类似地可以证明，对于任意给定集合S到S的全体映射（不只是一一映射）的集合的乘法运算也成立结合律，其证明同上，完全不必改动。这说明结合律是集合到自身的映射所固有的性质。 性质4（结合律）：对于T中的任意元素σ，τ，ρ，成立 ρ(τσ)＝(ρτ)σ。 以上这四条性质是对称变换乘法的最基本的性质。 因为非零实数或复数的乘法也具有同样的性质。因此，虽然变换乘法和数的乘法迥然不同，从具体数学内容上说完全是两回事，但它们却满足相同的运算规律。正因为如此，我们才把变换的合成叫作乘法运算。 但是，也并不是数的乘法运算的所有性质，变换的乘法都具有。 譬如，变换的乘法一般不具有我们所熟知的数的乘法的交换律，对于正三角形的对称变换α1和β1来说，有β1•α1＝β2，但α1•β1＝β3。 谢谢