湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充整系数代数方程的有理数.ppt

整系数代数方程的有理数 我们现在讨论有理系数代数方程的有理根.这里，一元的代数方程就是指一元n次方程.有理系数代数方程的各项系数都可以写成分数的形式，将方程两边同时乘以所有这些分数的分母的最小公倍数，可以将方程的系数全部化为整数.因此，有理系数代数方程都可以写成整系数代数方程来讨论. 定理2（有理根定理） 设n次多项式 的系数 都是整数， 是分数，其中p，q是整数且 （实际上总可假定q0），并且 假定已经经过约分使p，q互素（即p，q的最大公约数为1）。如果 是整系数代数方程 的根，则q整数 ，p整除 。 证明 将等式 两边同时乘以 ，得 从而 q是②式右边的因子，也应是左边的因子。但q与p互素，故q与 互素。q的素因子分解式中每一个素因子都不能在 的素因子 分解式中出现，只能在 的素因子分解式中出现。这说明了q 整除 。 同理，由等式①得 由p整除等式右边且与 互素可知p整数 。 ① ② ③ 证明 如果方程（Ⅱ）有有理根，按照有理根定理，它的有理根只可能是±1，±𝟏/𝟐，±𝟏/𝟒或±𝟏/𝟖，将这8个候选的分数代入方程（Ⅱ）可以发现它们都不是根，于是方程（Ⅱ）没有有理根.不过，8个候选分数一一代进方程检验还嫌太多.我们可以对方程（Ⅱ）稍作处理，减少候选分数的个数. 谢 谢